哈工大《微积分》——一元积分学与微分方程

第一讲：原函数与不定积分

1. 原函数：$F^{'}(x)=f(x),F(x)为f(x)的一个原函数.$
2. 不定积分：$F(x)+C.$
3. 不定积分的性质：
   3.1: $(\int \!f(x)dx)^{'}=f(x).$
   3.2: $\int \! f^{'}(x)dx=f(x)+C.$
4. 原函数的存在性：连续函数必有原函数；第一类间断点处无原函数【证明】。
5. 不定积分的基本公式：$\int \!{1\over x}dx=ln\left| x\right|+C.$

第二讲：第一换元积分法【复合函数求导法】

1. 第一换元积分法（凑微分）：$\int \!f(g(x))g^{'}(x)dx=\int \!f(g(x))dg(x).$
2. 第一换元积分公式补充：
   2.1 $\int \!f(ax+b)dx={1\over b}\int \!f(ax+b)d(ax+b).$
   2.2 $\int \!{1\over cosx}dx={1\over 2}ln\left|{1+sinx} \over {1-sinx} \right|+C=ln\left|{1\over cosx}+tanx\right|+C.$
3. 三角函数积分：
   3.1 【m,n一奇一偶则易凑微分;全为偶数则用倍角公式降到一次】
   $\int \!sin^{m}xcos^{n}xdx.$
   3.2 【利用$1=sin^2x+cos^2x$转化分子来降次,前者凑微分,后者分部积分】
   $\begin{aligned} &\int \!{1\over{sin^{m}xcos^{n}x}}dx \\ &\Rightarrow \Biggl( \int \!{sinx \over {cos^{k}x}}dx, \int \!{cosx\over {sin^{k}x}}dx\Biggr), \Biggl( \int \!{1\over {sin^{k}x}}dx, \int \!{1\over {cos^{k}x}}dx.\Biggr) \end{aligned}$
   3.3 【利用$tan^2x=sec^2x-1和cot^2x=csc^2-1来降次$】
   【结合$d(tanx)=sec^2x和d(cot)=-csc^2x$】
   $\begin{aligned} \int\!tan^{n}xdx &=\int\!tan^{n-2}x(sec^2x-1)dx\\ &=\int\!tan^{n-2}xd(tanx)-\int\!tan^{n-2}xdx.\\ \int\!cot^{n}xdx &=\int\!cot^{n-2}(csc^2-1)dx\\ &=-\int\!cot^{n-2}(1-csc^2)dx\\ &=-\Biggl( \int\!cot^{n-2}xdx+\int\!cot^{n-2}xd(cotx)\Biggr). \end{aligned}$
   3.4【利用$1=sin^2x+cos^2$转换分母常数项$\rightarrow$齐次】
   $\begin{aligned} \int\!{1\over{a+bsin^2x}}dx &=\int\!{1\over{(a+b)sin^2x+acos^2x}}dx\\ &=\int\!{1\over{(a+b)+atan^2x}}\cdot sec^2xdx\\ &=\int\!{1\over{(a+b)+atan^2x}}d(tanx).\\ \int\!{1\over{a+bcos^2x}}dx. \end{aligned}$
4. 其他函数的凑微分：
   4.1 【遇到分母含$e^x$,分子加一项减一项】
   $\int\!{1\over {1+e^x}}dx=\int\!{ {1+e^x-e^x}\over {1+e^x} }dx.$
   4.2【局部求导法凑微分】
   $\int\!{x\over {x^2+2x+2}}dx.$

第三讲：分部积分法【乘积函数求导法】

1. 分部积分法：$\int\!fdg=f\cdot g-\int\!g\,d\!f.$
2. 典型的分部积分：
   2.1 $\int\!lnxdx,\int\!arctanx\,dx.$
   2.2 $\int\!x\cdot arctanx\,dx.$
   2.3 $\int\!xcosx\,dx,\int\!xe^xdx.$
   2.4 $\int\!e^xsinx\,dx.$【解方程】
   2.5 $\int\!{1\over {sin^nx}}dx,\int\!{1\over{cos^nx}}dx,\int\!{1\over{(a^2+x^2)^n}}dx.$
3. 其他类型的分部积分：
   3.1 不同类函数乘积型：$\int\!{x\,arcsinx\over{\sqrt{1-x^2}}}dx.$【典型凑微分】
   3.2 导数重复出现型：$\int\!cosx\,lnxdx.$【解方程法】
   3.3 含“不可积”函数型：${sinx\over x},e^{x^2},sinx^2,{1\over {lnx}},\sqrt{1+x^3},{e^x\over x}.$【抵消法】
   3.4 含有抽象函数型：$\int\![f^{''}(x)g(x)-f(x)g^{''}(x)]dx$【分部后可抵消】

第四讲：其他类型积分法

1. 第二换元积分法：
   1.1 $\int\!f(\sqrt[n]{{ax+b}\over{cx+d}})dx.$【整体换元为$t$】
   【例题】：$\int\!{1\over {\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}}dx$
   1.2 $\int\!f(\sqrt{Ax^2+Bx+C})dx.$【配方后三角代换】
   【例题】：$\int\!{{\sqrt{1-x^2}}\over{x}}dx$
2. 有理函数积分：【假分式=多项式+真分式】【真分式=$\sum$最简分式】
3. 三角函数万能代换：$sinx={2tan{x\over2}\over{1+tan^2{x\over 2}}},cosx=,tanx=.$
4. 分段函数积分：【要求原函数在分段点处连续】

第五讲：定积分

1. 定积分：任意无限划分，任意区间取点，黎曼和取极限。
2. 定积分的几何意义：代数和。
3. 定积分可积准则：黎曼可积必有界（必要条件）；连续必黎曼可积；有限个一类间断必黎曼可积。
4. 定积分的性质。

第六讲：微积分基本定理

1. 变限积分函数：$\phi (x)=\int\!^x_af(t)dt.$
2. 微积分定理第一部分——微分部分：【微分与定积分的关系】
   $\phi ^{'}(x)=\Big(\int^x_af(t)dt\Big)^{'}=f(x).$
3. 微积分定理第二部分——积分部分：【定积分与不定积分的关系】
   $\int^x_af(t)dt=F(x)-F(a).$
4. 【证明】：$[a,b]$上$f(x)$可积，则$\int^x_af(t)dt$连续，但不一定可积.

第七讲：定积分的计算【可利用几何意义、对称性等】

1. 第一还原积分法：换元必换限。
   【例题】：求$\int^1_0x^3\sqrt{1+x^2}dx.$
2. 分部积分法。
   【例题】：求$\lim_{n\to \infty}\int_0^1e^{x^2}cosnx\,dx$
3. 分段函数的积分。
4. 第二换元积分法：【换元必换限】
   $\int_a^bf(x)dx \xlongequal{x=g(t)} \int_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)} f[g(t)]g^{'}(t)dt.$
   【例题1】：强调定积分的第二换元积分！【“倒区间换元”后可抵消】
   $求\int^{\pi \over 4}_{-\pi \over 4}{cosx \over {1+e^x}}dx.$
   【例题2】：$求证\int^{\pi \over 2}_{0}sinxdx=\int^{\pi \over 2}_{0}cosxdx$
   【例题3】：$求证\int^{\pi}_{0}xf(sinx)dx={\pi \over 2}\int^{\pi}_{0}f(sinx)dx=\pi \int^{\pi \over 2}_0f(sinx)dx.$
5. 定积分定义求极限：$\int^1_0f(x)dx=\lim_{n\to \infty} \sum^n_{i=1}f({i\over n}){1\over n}.$

第八讲：广义积分

1. 无穷区间上的定积分。
   【例题】：$求\int^{+\infty}_0{1\over {(1+x^2)(1+x^{\beta})}}dx,0<\beta <1.$
2. 瑕积分：有限点处函数无界。
   【例题】：$求\int^{\pi}_{0}{1\over {1+3sin^2x}}dx.$

第九讲：极值与最值

1. 函数的单调性：
   【定理1】：$f(x)单调上升且f^{'}(x)存在，则f^{'}(x)\geqslant 0.$
   【定理2】：$f(x)在(a,b)内可导，且f^{'}(x)>0，则f(x)在(a,b)内单调递增.$
2. 函数的极值：驻点、极值嫌疑点。
   【定理】：极值的两个判断定理。
3. 函数的最值：
   【题型1】：闭区间上连续函数的最值：逐个比较嫌疑点函数值得到最值。
   【题型2】：开区间连续函数的最值：若有且仅有一个极值，则必为最值。
   【题型3】：实际问题中的最值。

第十讲：函数的作图

1. 凹凸性：$f({{x_1+x_2}\over 2})<{1\over 2}[f(x_1)+f(x_2)]\Leftrightarrow 凹.$
   【定理】：$f^{''}(x)>0 \Longleftrightarrow 凹.$
2. 拐点：凹凸性变化点。
3. 渐趋线：$y=ax+b:a=\lim_{x\to \pm \infty}{f(x)\over x},b=\lim_{x\to \pm \infty }[f(x)-ax].$
4. 曲线的作图：特殊点，区间。

第十一讲：函数的弧微分

1. 弧微分公式：$要求\lim_{M\to M^{'}}{\overgroup{M_0M} \over{ \left|{M_0M}\right| }}=1.$
   $\begin{aligned} ds&=\sqrt{1+f^{'2}(x)}dx\\ &=\sqrt{x^{'2}(t)+y^{'2}(t)}dt\\ &=\sqrt{r^{2}(\theta)+r^{'2}(\theta)}d\theta. \end{aligned}$
2. 微分三角关系：$ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}.$
3. 曲率圆：$K={1\over R}$，曲率中心的运动轨迹即渐屈线。

第十二讲：定积分的应用

1. 微元法：$所求量满足可加性；存在实数区间[a,b]与所求量对应；\forall x\in [a,b],点区间[x,x+dx]对应的分量dS=f(x)dx.$
2. 求平面图形面积：直角座标系、极座标系。
3. 求旋转体体积。
4. 求横截面积已知的空间体的体积。
5. 计算弧长。
6. 定积分的物理应用。

第十三讲：常微分方程

1. 常微分方程：未知函数为一元函数。
2. 微分方程的阶：方程中未知函数的最高阶数。
3. 微分方程的解：一个解、通解、特解、奇解。
4. 定解条件：n阶微分方程需要n个定解条件来确定解。

第十四讲：一阶微分方程

1. 可分离变量型：$g(y)dy=f(x)dx.$
2. 齐次型：${ {dy}\over {dx} }=f({y\over x})或{ {dx}\over {dy} }=f({x\over y}).$
3. 一阶线性型：${dy\over {dx}}+P(x)y=Q(x).$
4. 伯努利方程：${dy\over{dx}}+P(x)y=Q(x)y^{n},(n\ne0,1).$

第十五讲：可降阶的高阶微分方程：

5.1 $y^{(n)}=f(x)型;$
5.2 $F(x,y^{(n)},y^{(n+1)})型;$
5.3 $F(y,y^{'},y^{''})型;$

第十六讲：线性微分方程通解结构

1. 线性微分方程：$y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_0(x)y=f(x).$
2. n阶线性微分方程通解结构：n个线性无关特解的线性和+非齐次特解。

第十七讲：常系数线性微分方程

1. n阶常系数线性微分方程：$y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_0y=f(x).$
2. 常系数齐次：假设特解为$e^{\lambda x}$，求特征方程得到线性无关的特解。
3. 特征根的分类：
   3.1 k重实根：对应k个不带三角的幂指根——$x^ie^{\lambda _ix}$
   3.2 k重复根：对应2k个带三角的幂指根——$x^ie^{\alpha _i}cos\beta x,x^ie^{\alpha _i}sin\beta x.$