專題六 數理統計的概念

專題六 數理統計的概念

6.1 隨機樣本

1.簡單隨機樣本的定義：
設總體 $X$ 是具有分佈函數 $F$ 的隨機變量，若 $X_1,X_2，... ,X_n$ 是具有同一分佈 $F(x)$ 且相互獨立的隨機變量，則稱 $X_1,X_2,...,X_n$ 爲總體 $X$ 得到的容量爲 $n$ 的簡單隨機樣本，簡稱樣本

2. 統計量的定義：
設 $X_1,X_2,...X_n$ 是來自總體 $X$ 的一個樣本，$g(X_1,X_2,...,X_n)$ 是 $X_1,X_2,... ,X_n$ 的函數，若 $g$ 中不含任何未知參數，則稱 $g(X_1,X_2,...,X_n)$ 是一個統計量

3.常見的統計量：

（1） 樣本平均值： $\bar{X}$ $= \frac{1}{n} \cdot \sum\limits_{i = 1}^{n} X_i$

（2）樣本方差： $S^2 =\frac{1}{n-1}\cdot\sum\limits_{i = 1}^{n} (X_i - \bar{X})^2 = \frac{1}{n-1}\cdot (\sum\limits_{i = 1}^{n}X_i^2 - n\bar{X}^2)$

– 樣本方差（方差的無偏估計量）

（3）樣本k階（原點矩）： $A_k = \frac{1}{n} \sum\limits_{i =1}^{n} X^k_i ,k = 1,2,3,...$

（4）樣本k階中心矩$A_k = \frac{1}{n} \sum\limits_{i =1}^{n} (X_i - \bar{X})^k,k = 1,2,3,...$

–當k = 2 時爲二階中心矩，即爲方差的有偏估計量

6.2 抽樣分佈

1.$\chi^2$ 分佈
（1）定義： 設$X_1,X_2,X_3,...,X_n$ 是來自總體 $N(0,1)$ 的樣本，則統計量 $\chi^2 = X_1^2+X_2^2+...+X_n^2$ 所服從的分佈稱爲自由度爲 $n$ 的 $\chi^2$ 分佈，記爲 $\chi^2$ ~ $\chi^2(n)$
（2）性質：
– 1）可加性：如果$\chi_{1}^2$ ~ $\chi_{1}^2(n_1)$ ,$\chi_{2}^2$ ~ $\chi_{2}^2(n_2)$ ,且他們相互獨立，則有$\chi^{2}_1 +\chi^{2}_2$ ~ $\chi^{2}(n_1 + n_2)$
– 2）如果$\chi^2$ ~ $\chi^2(n)$,則有 $E(\chi^2) = n ,D(\chi^2) =2n$
（3）$\chi$分佈的$\alpha$上分位點：

可以通過查表得到$\alpha$上分位點，但是自由度 $n$ 的範圍僅在$n \leq 45$,當自由度 $n$ 超過 45 時，近似地 $\chi^{2}_{\alpha} \approx \frac{1}{2} \cdot (z_{\alpha} + \sqrt{2\cdot n -1})^2$

2.$t$ 分佈
（1）定義： 設$X$ ~ $N(0,1)$，$Y$ ~ $\chi^2(n)$,並且 $X,Y$ 獨立，則隨機變量 $t = \frac{X}{\sqrt{Y/n}}$ 服從自由度爲 $n$ 的 $t$ 分佈，記爲 $t$ ~ $t(n)$

（2）$t$ 分佈的$\alpha$上分位點：

由 $t$ 分佈的上 $\alpha$ 分位點的性質 $t_{1-\alpha}(n) = - t_{\alpha}(n)$ ，若$n > 45$ 時，就用標準正太分佈來近似 $t_{1-\alpha} \approx z_{\alpha}$

3.$F$ 分佈
（1）定義： 設 $U$ ~ $\chi^2(n_1)$ , $V$ ~ $\chi^2(n_2)$,且$U,V$ 獨立，則稱隨機變量 $F = \frac{U/n_1}{V/n_2}$ 服從自由度爲$(n_1,n_2)$ 的 $F$ 分佈，記爲 $F$ ~ $F(n_1,n_2)$

（2）$F$ 分佈的 $\alpha$ 上分位點：

$F_{1-\alpha}(n_1,n_2) = \frac{1}{F_{\alpha}(n_2,n_1)}$

6.3 正態總體的樣本均值與樣本方差的分佈

定理一：設$X_1,X_2,...,X _n$ 是總體 $N(\mu,\sigma^2)$ 的樣本，$\bar{X}$ , $S^2$ 分別是樣本均值和樣本方差，則有
（1）$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$ ~ $\chi ^2(n-1)$
（2）$\bar{X}$ 與 $S^2$ 相互獨立

定理二：設$X_1,X_2,...,X_n$ 是總體 $N(\mu,\sigma^2)$ 的樣本，$\bar{X},S^2$分別是樣本均值和樣本方差，則有
$\frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}}$ ~ $t(n-1)$

定理三：設 $X_1, X_2,...,X_n$ 與 $Y_1,Y_2,...,Y_n$ 分別來自具有相同方差的兩正態分佈總體 $N(\mu_1,\sigma^2),N(\mu_2,\sigma^2)$,且這兩個樣本相互獨立，設$\bar{X} = \frac{1}{n_1} \cdot\sum\limits_{i = 1}^{n_1} X_i$, $\bar{Y} = \frac{1}{n_2} \cdot\sum\limits_{i = 1}^{n_2} Y_i$分別是這兩個樣本的均值, $S_1^2 = \frac{1}{n_1 -1} \cdot\sum\limits_{i = 1}^{n} (X_i - \bar{X})^2$ , $S^2_2 = \frac{1}{n_2-1} \cdot\sum\limits_{i = 1}^{n} (Y_i - \bar{Y})^2$ 分別是這兩個樣本的樣本方差，則有

$\frac{(\bar{X} - \bar{Y})-(\mu_1 - \mu_2)}{S_{\omega} \cdot \sqrt{1/n_1 + 1/n_2}}$ ~ $t(n_1+n_2-2)$
其中 $S_{\omega} = \frac{(n_1 - 1)S_1^2+(n_2 -1)S_2^2}{n_1+n_2-2}$