专题六 数理统计的概念

专题六 数理统计的概念

6.1 随机样本

1.简单随机样本的定义：
设总体 $X$ 是具有分布函数 $F$ 的随机变量，若 $X_1,X_2，... ,X_n$ 是具有同一分布 $F(x)$ 且相互独立的随机变量，则称 $X_1,X_2,...,X_n$ 为总体 $X$ 得到的容量为 $n$ 的简单随机样本，简称样本

2. 统计量的定义：
设 $X_1,X_2,...X_n$ 是来自总体 $X$ 的一个样本，$g(X_1,X_2,...,X_n)$ 是 $X_1,X_2,... ,X_n$ 的函数，若 $g$ 中不含任何未知参数，则称 $g(X_1,X_2,...,X_n)$ 是一个统计量

3.常见的统计量：

（1） 样本平均值： $\bar{X}$ $= \frac{1}{n} \cdot \sum\limits_{i = 1}^{n} X_i$

（2）样本方差： $S^2 =\frac{1}{n-1}\cdot\sum\limits_{i = 1}^{n} (X_i - \bar{X})^2 = \frac{1}{n-1}\cdot (\sum\limits_{i = 1}^{n}X_i^2 - n\bar{X}^2)$

– 样本方差（方差的无偏估计量）

（3）样本k阶（原点矩）： $A_k = \frac{1}{n} \sum\limits_{i =1}^{n} X^k_i ,k = 1,2,3,...$

（4）样本k阶中心矩$A_k = \frac{1}{n} \sum\limits_{i =1}^{n} (X_i - \bar{X})^k,k = 1,2,3,...$

–当k = 2 时为二阶中心矩，即为方差的有偏估计量

6.2 抽样分布

1.$\chi^2$ 分布
（1）定义： 设$X_1,X_2,X_3,...,X_n$ 是来自总体 $N(0,1)$ 的样本，则统计量 $\chi^2 = X_1^2+X_2^2+...+X_n^2$ 所服从的分布称为自由度为 $n$ 的 $\chi^2$ 分布，记为 $\chi^2$ ~ $\chi^2(n)$
（2）性质：
– 1）可加性：如果$\chi_{1}^2$ ~ $\chi_{1}^2(n_1)$ ,$\chi_{2}^2$ ~ $\chi_{2}^2(n_2)$ ,且他们相互独立，则有$\chi^{2}_1 +\chi^{2}_2$ ~ $\chi^{2}(n_1 + n_2)$
– 2）如果$\chi^2$ ~ $\chi^2(n)$,则有 $E(\chi^2) = n ,D(\chi^2) =2n$
（3）$\chi$分布的$\alpha$上分位点：

可以通过查表得到$\alpha$上分位点，但是自由度 $n$ 的范围仅在$n \leq 45$,当自由度 $n$ 超过 45 时，近似地 $\chi^{2}_{\alpha} \approx \frac{1}{2} \cdot (z_{\alpha} + \sqrt{2\cdot n -1})^2$

2.$t$ 分布
（1）定义： 设$X$ ~ $N(0,1)$，$Y$ ~ $\chi^2(n)$,并且 $X,Y$ 独立，则随机变量 $t = \frac{X}{\sqrt{Y/n}}$ 服从自由度为 $n$ 的 $t$ 分布，记为 $t$ ~ $t(n)$

（2）$t$ 分布的$\alpha$上分位点：

由 $t$ 分布的上 $\alpha$ 分位点的性质 $t_{1-\alpha}(n) = - t_{\alpha}(n)$ ，若$n > 45$ 时，就用标准正太分布来近似 $t_{1-\alpha} \approx z_{\alpha}$

3.$F$ 分布
（1）定义： 设 $U$ ~ $\chi^2(n_1)$ , $V$ ~ $\chi^2(n_2)$,且$U,V$ 独立，则称随机变量 $F = \frac{U/n_1}{V/n_2}$ 服从自由度为$(n_1,n_2)$ 的 $F$ 分布，记为 $F$ ~ $F(n_1,n_2)$

（2）$F$ 分布的 $\alpha$ 上分位点：

$F_{1-\alpha}(n_1,n_2) = \frac{1}{F_{\alpha}(n_2,n_1)}$

6.3 正态总体的样本均值与样本方差的分布

定理一：设$X_1,X_2,...,X _n$ 是总体 $N(\mu,\sigma^2)$ 的样本，$\bar{X}$ , $S^2$ 分别是样本均值和样本方差，则有
（1）$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$ ~ $\chi ^2(n-1)$
（2）$\bar{X}$ 与 $S^2$ 相互独立

定理二：设$X_1,X_2,...,X_n$ 是总体 $N(\mu,\sigma^2)$ 的样本，$\bar{X},S^2$分别是样本均值和样本方差，则有
$\frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}}$ ~ $t(n-1)$

定理三：设 $X_1, X_2,...,X_n$ 与 $Y_1,Y_2,...,Y_n$ 分别来自具有相同方差的两正态分布总体 $N(\mu_1,\sigma^2),N(\mu_2,\sigma^2)$,且这两个样本相互独立，设$\bar{X} = \frac{1}{n_1} \cdot\sum\limits_{i = 1}^{n_1} X_i$, $\bar{Y} = \frac{1}{n_2} \cdot\sum\limits_{i = 1}^{n_2} Y_i$分别是这两个样本的均值, $S_1^2 = \frac{1}{n_1 -1} \cdot\sum\limits_{i = 1}^{n} (X_i - \bar{X})^2$ , $S^2_2 = \frac{1}{n_2-1} \cdot\sum\limits_{i = 1}^{n} (Y_i - \bar{Y})^2$ 分别是这两个样本的样本方差，则有

$\frac{(\bar{X} - \bar{Y})-(\mu_1 - \mu_2)}{S_{\omega} \cdot \sqrt{1/n_1 + 1/n_2}}$ ~ $t(n_1+n_2-2)$
其中 $S_{\omega} = \frac{(n_1 - 1)S_1^2+(n_2 -1)S_2^2}{n_1+n_2-2}$