通俗理解齊次變換矩陣複合變換的時候變換順序不可逆——下

爲防止文章過長乏味，將此博客分爲上下兩篇。下篇是對上篇例題的例題常規求解和線性代數的解釋。

常規求解

固連在座標系（𝑛,𝑜,𝑎）上的點P(7,3,2)T 經歷如下變換，求出變換後該點相對於固定參考座標系的座標。
（1）繞z軸旋轉90°；
（2）接着繞y軸旋轉90°；
（3）接着再平移[4,-3,7]；

倒轉一下（2）和（3）的順序
（1）繞z軸旋轉90°；
（2）接着再平移[4,-3,7]；
（3）接着繞y軸旋轉90°；

對比不同順序的同一個步驟而言，直接看圖我覺得有點抽象。大家可用自己的手臂一次平移一次旋轉擺弄一下。

線性代數的解釋

• 矩陣的行數和列數不允許相乘，上一個矩陣的列數不等於下一個矩陣的行數。
  如3x2的A和2x5的B可以相乘，但是BA這樣的乘法是不允許的、沒有定義的。
• 即使轉換乘法順序後，上一個矩陣的列數仍等於下一個矩陣的行數，得到的結果也可能不相等。
  $\pmb{A}=\begin{bmatrix} -2 & 4 \\ 1 & -2\\ \end{bmatrix}$

$\pmb{B}=\begin{bmatrix} 2 & 4 \\ -3 & -6\\ \end{bmatrix}$

$\pmb{AB}=\begin{bmatrix} -2 & 4 \\ 1 & -2\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 4 \\ -3 & -6\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -16 & -32 \\ 8 & 16\\ \end{bmatrix}$

$\pmb{BA}=\begin{bmatrix} 2 & 4 \\ -3 & -6\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -2 & 4 \\ 1 & -2\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0\\ \end{bmatrix}$

$\pmb{AB}\neq \pmb{BA}$

參考資料
同濟大學數學系，工程線性代數第六版

通俗理解齊次變換矩陣複合變換的時候變換順序不可逆——上
通俗理解齊次變換矩陣複合變換的時候變換順序不可逆——下