樹與二叉樹的應用
1.二叉排序樹的應用
1.1、定義
二叉排序樹(也稱二叉查找樹)或者是一顆空樹，或者是一顆具有下列特性的非空二叉樹：
1. 若左子樹非空，則左子樹上所有節點關鍵字值均小於根節點的關鍵字值。 2. 若右子樹非空，則右子樹上所有節點關鍵字值均大於根節點的關鍵字值。 3. 左、右子樹本身也分別是一顆二叉排序樹。
(ps:二叉排序樹是一個遞歸的數據結構，且左子樹節點值<根節點值<右子樹節點值。由中序遍歷可以得到一個遞增的有序序列。)
- 特點：二叉排序樹是一種動態集合，樹的結構通常不是一次生成的，而是在查找過程中，當樹中不存在關鍵字值等於給定值得結點時再進行插入的。
1.2、基本操作
- 1.2.2插入
若原二叉樹排序樹爲空，則直接插入結點；
若關鍵字k小於根結點關鍵字，則插入左子樹；
若關鍵字k大於根結點關鍵字，則插入右子樹；
此爲遞歸定義int BST_Insert(BiTree &T, KeyType k){
// 在二叉排序樹T中插入一個關鍵字爲k的結點
if(T==NULL){
T = (BiTree)malloc(sizeof(BSTNode));
T->key = k;
T->lchild=T->rchild=NULL;
return 1; // 返回1，表示成功
}else if(k==T->key) // 樹中存在相同關鍵字的結點
return 0;
else if(k<T->key) // 插入T的左子樹
return BST_Insert(T->lchild, k);
else // 插入T的右子樹
return BST_Insert(T->rchild, k);
}
- 1.2.2構造
每讀入一個元素，就建立一個新結點，若二叉排序樹非空，則將新結點的值與根結點的值比較，若小於根結點的值，則插入左子樹，否則插入右子樹；若二叉排序樹爲空，則將新結點作爲二叉排序樹的根結點。
void Creat_BST(BiTree &T, KeyType str[], int n){
// 用關鍵字數組str[]建立二叉排序樹
T = NULL; // 初始化bt爲空樹
int i = 0;
while(i < n){ // 依次將每個元素插入
BST_Insert(T, str[i]);
i++;
}
}
- 1.2.4查找
查找是從根結點開始，沿某個分支逐層向下進行比較的過程。
若二叉排序樹非空，則將關鍵字與根結點的關鍵字比較，若相等，則查找成功；
若不等，則當根結點的關鍵字值大於給定關鍵字值時，在根結點的左子樹中查找，否則在根結點的右子樹中查找。
// 非遞歸查找
BSTNode *BST_Search(BiTree T, ElemType key, BSTNode *&p){
// 查找函數返回指向關鍵字值爲key的結點指針，若不存在，返回NULL;
p = NULL; // p指向被查找結點的雙親，用於插入和刪除操作中
while(T!=NULL&&key!=T->data){
p = T;
if(key<T->data) T=T->lchild;
else T = T->rchild;
}
return T;
}
- 1.2.3刪除
刪除操作的實現過程按3種情況來處理:
1.若被刪除結點z是葉結點，則直接刪除，不會破壞二叉排序樹的性質。
2.若結點z只有左子樹或右子樹，則讓z子樹成爲z父結點的子樹，代替z的位置。
3.若結點z有左、右兩顆子樹，則令z直接後繼(後直接前驅)替代z，然後從二叉排序樹中刪除這個直接後繼(或直接前驅),這樣就轉換成爲了第一或第二種情況。
- 1.2.5查找效率分析
二叉排序樹查找算法的平均查找長度，主要取決於樹的高度。
2.平衡二叉樹
2.1、定義
在插入和刪除二叉樹結點時，要保證任意結點的左、右子樹高度差的絕對值不超過1,這樣的二叉樹稱爲平衡二叉樹(Balanced Binary Tree),簡稱平衡樹(AVL)。
目的：避免樹的高度增長過快，而導致降低了二叉排序樹的性能。
平衡因子：結點左子樹與右子樹的高度差。
2.2、基本操作1
- 2.2.1 插入/刪除
基本思想：每當在二叉排序樹中插入(或刪除)一個結點時，首先檢查其插入路徑上的結點是否因爲此次操作而導致了不平衡。若導致了不平衡，則先找到插入路徑上離插入結點最近的平衡因子的絕對值大於1的結點A，再對以A爲根的子樹，在保持二叉排序樹特性的前提下，調整各結點的位置關係，使之重心達到平衡。
失去平衡後進行調整的規律如下:
1）LL平衡旋轉(右單旋轉)
2）RR平衡旋轉(左單旋轉)
3）LR平衡旋轉(先左後右雙旋轉)
4）RL平衡旋轉(先右後左雙旋轉)
- 2.2.2查找
3.哈夫曼樹和哈夫曼編碼
3.1、定義
樹中 結點常常被賦予一個表示某種意義的數值，稱爲該結點的權。從樹根結點到任意結點的路徑長度(邊數)與該結點上權值的乘積，稱爲該結點的帶權路徑長度。樹中所有葉結點的帶權路徑長度之和稱爲該樹的帶權路徑長度。
其中帶權路徑長度最小的二叉樹稱爲哈夫曼樹，也稱爲最優二叉樹。
3.2、哈夫曼樹的構造
- 1、將n個結點分別作爲n棵僅含一個結點的二叉樹，構成森林F.
- 2、構造一個新結點，從F中選取兩棵根結點權值最小的樹作爲新結點的左、右子樹，並且將新結點的權值置爲左右子樹上根結點的權值之和。
- 3、從F中刪除剛纔選出的兩棵樹，同時將新得到的樹加入F中。
- 4、重複步驟2、3，直到F中只剩下一顆樹爲止。
3.3、哈夫曼編碼
哈夫曼編碼是一種可變長度編碼，應用於數據壓縮編碼。
- 首先，將每個出現的字符當做一個獨立的結點，權值爲它出現的頻度(或次數)，構造出對應的哈夫曼樹。
- 將字符的編碼解釋爲從根至該字符的路徑上邊標記的序列，其中邊標記爲0表示"轉向左孩子"，標記爲1表示"轉向右孩子"。