关于线段树合并的复杂度证明

因为感觉网上的都怪怪的，所以自己yy了一下。。

假设树上点数是$O(n)$，每个点上有一些权值。每个点的权值个数之和是$O(m)$，线段树是对权值建的。

考虑一个线段树上的区间$[l,r]$
在合并的时候，只有当两个线段树在这个区间内都有点，这个区间才会贡献 1 的复杂度。
而考虑这个区间内的权值在原树上的分布，假设原树上共有$k$个点含有这个区间内的权值，容易发现最多有$k-1$次合并在两棵线段树会同时存在这个区间内的权值。（因为是树形合并）。那么这个区间总共会贡献$O(k)$的复杂度。

然后考虑在线段树中同一层的所有区间，它们对复杂度的贡献是
$O(\sum_{某个区间} 树上包含这个区间内的权值的点数)$
$\le O(\sum_{某个权值}树上包含这个权值的点数)=O(m)$

而线段树总共有$\log m$层，所以复杂度是小于$O(m\log m)$的。

而在一般的问题中，每个点通常只包含一个权值并且互不相同（$m=n$），所以$O(\sum_{某个区间}树上包含这个区间内的权值的点数)=O(\sum_{某个区间}区间大小)=O(n)$，于是复杂度为$O(n\log n)$

由此也可以见得，如果每个点都有$O(n)$个权值，那么复杂度将会是$O(n^2+\frac {n^2}2+\frac {n^2}4+\frac {n^2}n)=O(n^2)$