2021考研数学 高数 第一章 函数 极限 连续

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1. 背景

前段时间复习完了高数第一章的内容，我参考《复习全书·基础篇》和老师讲课的内容对这一章的知识点进行了整理，形成了这篇笔记，方便在移动设备上进行访问和后续的补充修改。

2. 极限的存在准则

2.1. 夹逼准则

若存在$N$，当$n>N$时，$x_n \leq y_n \leq z_n$ ，且$\lim\limits_{{n\to \infty }}{x_n} = \lim\limits_{{n\to \infty }}{z_n} = a$，则 $\lim\limits_{{n\to \infty }}{y_n} = a$.

2.2. 单调有界准则

单调有界函数必有极限，即单调增（减）有上（下）界的函数必有极限。

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3. 常用的求极限方法（8种）

3.1. 方法1 用基本极限求极限

• 常用的基本极限

$\lim_{{x\to 0 }}{\sin x\over{x}} = 1 \tag{1.1}$

$\lim_{{x\to 0 }}{(1+x)^{1\over{x}}} = e \tag{1.2}$

$\lim_{{x\to \infty }}{(1+{1\over{x}})^x} = e \tag{1.3}$

$\lim_{{x\to 0 }}{{a^x - 1}\over{x}} = \ln{a} \tag{1.4}$

$\lim_{{n\to \infty }}{\sqrt[{n}]{{n}}} = 1 \tag{1.5}$

$\lim_{{n\to \infty }}{\sqrt[{n}]{{a}}} = 1,(a>0) \tag{1.6}$

$\lim_{{x\to \infty }}{{{a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}} + \cdots + a_1x + a_0 }\over{{b_nx^n + b_{n-1}x^{n-1}} + \cdots + b_1x + b_0}} = { \left\{ \begin{aligned} &{a_n\over{b_m}}, &n=m\\ &{0}, &n<m\\ &{\infty} , &n>m\\ \end{aligned}\right. } \tag{1.7}$

注：趋向于无穷时看高次项，趋向于0时看低次项

• “$1^{\infty}$” 型极限常用结论

若$\lim a(x) = 0, \lim \beta(x) = \infty$，且$\lim \alpha(x)\beta(x) = A$，则
$\lim[1 + \alpha(x)]^{\beta(x)} = e^A$

可以归纳为以下三步：

1. 写标准形式：原式 $=\lim[1 + \alpha(x)]^{\beta(x)}$；
2. 求极限：$\lim\alpha(x)\beta(x) = A$；
3. 写结果：原式$=e^A$.

3.2. 方法2 利用等价无穷小代换

• 常用的等价无穷小 当$x\to 0$时

$x\sim \sin x \sim \tan x \sim \arcsin x \sim \ln(1+x) \sim e ^ x - 1 \tag{1.8}$

$(1 + x) ^ \alpha - 1\sim \alpha x \tag{1.9}$

$a^x - 1 \sim x\ln a \tag{1.10}$

$1 - \cos x \sim {1\over{2}} x ^ 2 \tag{1.11}$

$x - \ln(1+x) \sim {1\over{2}} x^2 \tag{1.12}$

$\tan x - x \sim {1\over{3}} x^3 \tag{1.13}$

$x - \arctan x \sim {1\over{3}} x^3 \tag{1.14}$

$x - sin x \sim {1\over{6}} x^3 \tag{1.15}$

$\arcsin x - x \sim {1\over{6}} x^3 \tag{1.16}$

• 证明（1.8-1.16） 常用的等价无穷小都可以用洛必达法则证明

• 推论

$1 - \cos^\alpha x \sim {\alpha\over{2}}x^2 \tag{1.17}$

• 证明（1.17）

${1 - [1 + (\cos x - 1)]^ \alpha} \sim \alpha(1 - \cos x) \sim {\alpha\over{2}}x^2$

3.3. 方法3 利用有理运算法则求极限

3.4. 方法4 利用洛必达法则求极限

• 使用条件
  • 若$f(x)n$阶可导
  • 则洛必达法则可使用至求出$f^{(n-1)}(x)$，即$f(x)$的$n-1$阶导数
  • 若$f(x)$有$n$阶连续导数
    • 则洛必达法则可使用至求出$f^{(n)}(x)$，即$f(x)$的$n$阶导数
  • 若$f(x)n$阶可导，且求出$f^{(n-1)}(x)$后极限仍为$\frac{0}{0}$型
    • 则考虑使用等价无穷小或导数定义

3.5. 方法5 利用泰勒公式求极限

• 定理（带Peano余项的泰勒公式） 设$f(x)$在$x = x_0$处$n$阶可导，则

$f{ \left( {x} \right) }=\mathop{ \sum }\limits_{{n=0}}^{{ \infty }}\frac{{1}}{{n!}}\mathop{{f}}\nolimits^{{(n)}}{ \left( {\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}} \right) }{\mathop{{ \left( {x-\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}} \right) }}\nolimits^{{n}}} + o[(x - x_0)^n],x \in U{ \left( {\mathop{{x}}\nolimits_{{0}}} \right) } \tag{1.18}$

特别是当$x_0=0$时，为麦克劳林公式

$f{ \left( {x} \right) }=\mathop{ \sum }\limits_{{n=0}}^{{ \infty }}\frac{{1}}{{n!}}\mathop{{f}}\nolimits^{{(n)}}{ \left( {0} \right) }{\mathop{{x}}\nolimits^{{n}}} + o(x^n),x \in U{ \left( {0} \right) } \tag{1.19}$

• 几个常用的泰勒公式

$e^x = 1 + x + {x^2\over{2!}} + \cdots + {x^n\over{n!}} + o(x^n) \tag{1.20}$

$\sin(x) = x - {x^3\over{3!}} + \cdots + (-1)^{n-1}{{x^{2n-1}}\over{(2n)!}} + o(x^{2n-1}) \tag{1.21}$

$\cos(x) = 1 - {x^2\over{2!}} + \cdots + (-1)^{n}{{x^{2n}}\over{(2n)!}} + o(x^{2n}) \tag{1.22}$

$\ln(1 + x) = x - {x^2\over{2}} + \cdots + (-1)^{n-1}{{x^{n}\over{n}}} + o(x^{n}) \tag{1.23}$

$(1 + x) ^ \alpha = 1 + \alpha x + {\alpha (\alpha - 1)\over{2!} }x^2 + \cdots + {[\alpha!/(\alpha - n)!]\over{n!}}x^n + o(x^n) \tag{1.24}$

3.6. 方法6 利用夹逼原理求极限

• 常用结论

$\lim\limits_{{n\to \infty }}{\sqrt[{n}]{{a_1^n + a_2^n + \cdots + a_m^n}}} = max\{a_i\} \tag{1.25}$
其中$a_i > 0, (i = 1, 2, \cdots, m)$

• 证明公式1.25

令$max\{a_i\} = a$，则
$\sqrt[n]{a^n} < {\sqrt[{n}]{{a_1^n + a_2^n + \cdots + a_m^n}}} < \sqrt[n]{ma^n}$

$\lim\limits_{{n\to \infty }}{\sqrt[{n}]{{a^n}}} = a$

$\lim\limits_{{n\to \infty }}{\sqrt[{n}]{{ma^n}}} = a$
根据夹逼准则
$\lim\limits_{{n\to \infty }}{\sqrt[{n}]{{a_1^n + a_2^n + \cdots + a_m^n}}} = max\{a_i\} \tag{1.26}$

3.7. 方法7 利用单调有界准则求极限

• 基本不等式

${2\over{{1\over{a}} + {1\over{b}}}} \leq \sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2} \leq \sqrt{\frac{a ^ 2 + b ^ 2}{2}}$

3.8. 方法8 利用定积分定义求极限（见第五章）

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4. 函数的连续性

4.1. 连续的定义

• 连续的定义

设$y=f(x)$在点$x_0$的某领域内有定义，若$\lim\limits_{x \to x_0}{f(x) = f(x_0)}$则称$f(x)$在点$x_0$处连续。

• 左连续的定义

若$\lim\limits_{x \to x_0^-}{f(x)} = f(x_0)$ ，则称$ y = f(x) $在点$x_0$处左连续。

• 右连续的定义

若$\lim\limits_{x \to x_0^+}{f(x)} = f(x_0)$ ，则称$ y = f(x) $在点$x_0$处右连续。

• 定理

函数$f(x)$在点$x_0$处连续的充要条件是$f(x)$在点$x_0$既左连续又右连续。

4.2. 间断点的分类

• 第一类间断点

  • 定义：左右极限都存在的间断点成为第一类间断点
    • 可去间断点
      • 定义：左右极限都存在且相等的间断点成为可去间断点
    • 跳跃间断点
      • 定义：左右极限都存在但不相等的间断点成为跳跃间断点

• 第二类间断点

  • 定义：左右极限至少有一个不存在的间断点称为第二类间断点

    • 无穷间断点

      • 定义：若$\lim\limits_{x \to x_0^-} = \infty$ 或 $\lim\limits_{x \to x_0^+} = \infty$， 则称$x_0$为$f(x)$的无穷间断点

    • 震荡间断点

      • 定义：左右极限振荡不存在的间断点，叫做振荡间断点，其中振荡是不可以解出的答案，极限完全不存在，如$sin \frac{1}{x}$.

    • 其他

注：在答题时，一般来说，第一类间断点需要说明是可去间断点还是跳跃间断点，如无特殊要求，第二类间断点只需要声明为第二类间断点。

4.3. 闭区间上连续函数的性质

• 最值定理
  • 设$f(x)$在闭区间$[a, b]$上连续，则$f(x)$在$[a, b]$上必有最大值与最小值
• 有界性定理
  • 设$f(x)$在闭区间$[a, b]$上连续，则在$[a, b]$上必有界
• 介值定理
  • 设$f(x)$在闭区间$[a, b]$上连续，且$f(a)\ne f(b)$，则对于任意介于$f(a)$和$f(b)$之间的数$C$，至少存在一点$\xi \in (a,b)$，使$f(\xi) = C$.
  • 推论：若$f(x)$在闭区间$[a, b]$上连续，则$f(x)$在$[a, b]$上可取到介于最小值 $m$ 和最大值 $M$ 之间的任何值
• 零点定理
  • 设$f(x)$在闭区间$[a, b]$上连续，且$f(a) \cdot f(b) < 0$，则至少存在一点$\xi \in [a,b]$，使$f(\xi) = 0$.

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5. 总结

1. 函数
   • 性质
   • 复合
2. 极限
   • 极限概念与性质
   • 求极限
   • 无穷小阶的比较
3. 连续
   • 间断点类型
   • 闭区间上连续函数的性质