玩轉四旋翼無人機（四旋翼運動學簡介）

四旋翼的建模

大部分多旋翼飛行平臺是一個很簡單的機器，包含四個獨立的電機，電機固定於一個剛性的十字機架上。四旋翼的控制通過每個電機的推力實現。偏航的控制通過調整順時針旋轉電機和逆時針旋轉電機的平均速度來實現。系統是欠驅動的，因此剩餘的DOF對應於水平（XY平面）平移速度通過系統動力學控制。

剛體動力學

首先定義慣性座標系{A} 和機體座標系{B} ，假設v∈{A} 表示{B} 相對於{A}的速度，Ω∈{B} 表示{B}在{A}的角速度。m 表示剛體的質量，I 表示剛體的慣量矩陣（中的表示）。所以基體的運動方程爲

mv˙=mga+RF

R˙=RΩ×

IΩ˙=Ω×IΩ+τ

這裏Ω× 表示反對稱旋轉矩陣，滿足Ω×v=Ω×v ，另外F,τ 表示電機的動力形成的非保守力和施加在機體上的力矩。

簡單模型

旋轉電機的穩態推力可以建模爲

Ti:=CTρArir2iω2i

對於電機i ,Ari 是旋翼轉動覆蓋的面積，ri 爲其半徑，ωi 是角速度，CT 是推力系數，依賴於電機的幾何尺寸和性能，ρ 是空氣的密度，簡化的模型爲

Ti:=cTω2i

這裏cT>0 ，是一個常量，可以使用講臺推力測試得到。由此因爲空氣產生的反作用力矩可以建模爲

Qi:=cQω2i

這裏cQ 依賴Ari 和ri 。
在一開始的近似中，假設電機的推力一直沿着Z軸。然而一旦電機開始旋轉和平移之後，Rotor Flapping作用使得該假設不在成立。對於N電機飛機，從x軸正向逆時針標號電機i∈{1...N} ，每個電機相對x軸（機體座標系中）正向的角度Φi 。
因此整體的推力爲

TΣ=∑i=1N|Ti|=cT(∑i=1Nω2i)

因此旋轉推力和外部力的主分量

F=TΣz+Δ

Blade flapping and induced drag

　前面提到的 de la Cierva 是在實踐中發現這個問題的。他的模型旋翼機試飛很成功，但是全尺寸的旋翼機一上天就橫滾翻，開始以爲是遇到突然的橫風，第二架飛機上天同樣命運。de la Cierva 經過研究，發現模型旋翼機的槳葉是用藤條材料做的，有彈性，而全尺寸旋翼機的槳葉是剛性的鋼結構，由此認識到槳葉的揮舞鉸的必要性。具體來說，爲了補償左右的升力不均勻，和減少槳葉的疲勞，槳葉在翼根要採用一個容許槳葉載迴轉過程中上下揮舞的鉸鏈，這個鉸鏈稱爲揮舞鉸（flapping hinge，也稱垂直鉸）。槳葉在前行時，升力增加，槳葉自然向上揮舞。由於槳葉在旋轉過程中同時上升，槳葉的實際運動方向不再是水平的，而是斜線向上的。槳葉和水平面的夾角雖然不因爲槳葉向上揮舞而改變，但槳葉和氣流的相對運動方向之間的夾角由於這斜線向上的運動而變小，這個夾角（而不是槳葉和水平面之間的夾角）纔是槳葉真正的迎角。槳葉的迎角在升力作用下下降，降低升力。槳葉在後行時，槳葉的升力不足，自然下垂，變旋轉邊下降造成槳葉和氣流相對運動方向之間的夾角增大，迎角增加，增加升力。由於離心力使槳葉有自然拉直的趨勢，槳葉不會在升力作用下無限升高或降低，機械設計上也採取措施，保證槳葉的揮舞不至於和機體發生碰撞。槳葉在環形過程中，不斷升高、降低，翼尖離圓心的距離不斷改變，引起科里奧利效應（這個東西誰都“知道”，但說清楚不容易。誰要是能把這個東西說清楚，鮮花奉上），就像花樣滑冰運動員經常把雙臂張開、收攏，以控制旋轉速度。要是一個手臂張開，一個手臂收攏，就不可能在原地旋轉，就要東倒西歪了。所以槳葉在水平方向也要前後搖擺，以補償槳葉上下揮舞所造成的科里奧利效應。擺振鉸利用前行時阻力增加，使槳葉自然增加後掠角（即所謂“滯後”，因爲槳葉在旋轉方向上的角速度低於圓心的旋轉速度），這也變相增加槳葉在氣流方向上剖面的長度，加強了減小迎角的作用；在後行時，阻力減小，阻尼器（相當於彈簧）使槳葉恢復的正常位置（即所謂“領先”，因爲槳葉在旋轉方向上的角速度高於圓心的旋轉速度），當然也加強了增加迎角的作用，所以擺振鉸（drag hinge 也稱水平鉸）也稱領先-滯後鉸（lead lag hinge）。揮舞鉸和擺振鉸是旋翼升力均勻的飛行平穩的關鍵。由於槳葉在旋轉中容許上下揮動和前後擺動，這種槳葉稱爲柔性槳葉（articulated rotor）。除了用機械鉸鏈容許槳葉在環形過程中相對於其他槳葉有一定的揮舞外，材質也必須具有彈性，這就是爲什麼直升機停在地面時，槳葉總是“耷拉”着的原因。但機械鉸鏈磨損大，可靠性不好，德國 MBB（戰時着名的梅塞斯米特就是 MBB 中的 M）用彈性元件取代了揮舞鉸，研製成功無鉸槳葉，第一個應用無鉸槳葉的是 MBB Bo-105，中國曾進口一批，用於支援海上採油平臺。
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