線性代數知識回顧：矩陣的秩，矩陣的範數，矩陣的條件數，矩陣的特徵值和特徵向量

一.矩陣的秩

1.定義：

矩陣線性無關的行數或列數稱爲矩陣的秩

補充：

線性代數中的線性相關是指：
如果對於向量α1,α2,…,αn，
存在一組不全爲0的實數k1、k2、…、kn，
使得：k1·α1+k2·α2+…kn·αn=0成立，
那麼就說α1,α2,…,αn線性相關；

線性代數中的線性無關是指：
如果對於向量α1,α2,…,αn，
只有當k1=k2=…=kn=0時，
才能使k1·α1+k2·α2+…kn·αn=0成立，
那麼就說α1,α2,…,αn線性無關

2.矩陣的秩的求法

MATLAB中：rank(A) 表示求矩陣A的秩。

實際計算中：一般當矩陣階數不是很大時，我們可以採用對矩陣做初等變換化簡爲梯形矩陣求秩。

例：矩陣A =

  1     3     2
 -3     2     1
  4     1     2

求矩陣的秩

通過初等行變換，將矩陣化爲上階梯型矩陣：

  1	   3    2
  0	   11   7
  0    0    1

非零行數爲3，那麼矩陣的秩爲3。

使用MATLAB可以得到同樣的結果。

除此之外，還有很多種矩陣求秩的方法：

https://zhidao.baidu.com/question/1771639702174299740.html

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二.矩陣的範數

1.矩陣的範數的定義和求法

https://zhuanlan.zhihu.com/p/35897775

1. 矩陣A的1——範數：矩陣列元素絕對值之和的最大值
   $||A||_1 = MAX_{j=1}^{n}\{|\sum_{i=1}^n{{a_i}_j}|\}$

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2. 矩陣A的2——範數：矩陣
   $A^TA$
   的最大特徵值，又稱爲譜範數
   $||A||_2=\sqrtλ_1$

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3. 矩陣A的∞——範數：所有矩陣行元素絕對值之和的最大值
   $||A||_∞=MAX_{i=1}^n\{\sum_{j-1}^n|a_{i{j}}|\}$
   MATLAB中，求向量範數的函數爲：

   norm(V)或者norm(V,2)：計算向量V的2——範數

   norm(V,1)：計算向量V的1——範數

   norm(V,inf)：計算向量V的∞——範數

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三.矩陣的條件數

1.矩陣的條件數的定義

是判斷矩陣病態與否的一種度量，條件數越大矩陣越病態。

矩陣A的條件數等於A的範數與A的逆矩陣的範數的乘積

條件數越接近於1，矩陣的性能越好，反之矩陣的性能越差

2.矩陣的條件數的求法

MATLAB中，計算矩陣A的三種條件數的函數是：

cond(A,1)計算A的1——範數下的條件數

cond(A) cond(A,2)——計算A的2——範數下的條件數

cond(A,inf)——計算A的∞——範數下的條件數

四.矩陣的特徵值和特徵向量

1.定義

設矩陣A爲n階方陣，如果存在：

常數λ和n維非零列向量x，使得等式
$Ax = λx$
成立，那麼稱

λ是矩陣A的特徵值

x是對應特徵值λ的特徵向量

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2.矩陣的特徵值和特徵向量的求法

MATLAB中：

可以使用E=eig(A求解矩陣A的全部特徵值

或者使用[X,D]=eig(A)求矩陣A的全部特徵值，構成對角陣D，併產生矩陣X，X各列是相應的特徵向量

實際計算中：

貼大神博客鏈接

https://blog.csdn.net/baidu_38172402/article/details/82312967

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