雙重求和∑∑的定義及性質

一、複習求和符號∑

      自從約瑟夫·傅立葉於1820年引入求和符號∑（大寫的希臘字母sigma）以來，求和∑以及雙重求和∑∑在數學公式推導，命題證明中被經常使用，掌握它的定義和性質對於提高我們的數學能力是必不可少的。
注意我們在此只討論有限項的求和。
結合律：
$\sum_{i=1}^{n}( a_{i}+b_{i})=\sum_{i=1}^{n} a_{i}+\sum_{i=1}^{n} b_{i}$
分配律：
$\sum_{i=1}^{n} r a_{i}=r \sum_{i=1}^{n} a_{i} \quad( r爲任意常數)$
從函數角度：
$\sum_{i=1}^{10} g(k, l) f(i, j)=g(k, l) \sum_{i=1}^{10} f(i, j)$
g(k, l)是與下標i無關的函數
分段：
$\sum_{i=1}^{n} a_{i}=\sum_{i=1}^{m} a_{i}+\sum_{i=m+1}^{n} a_{i}$

二、二重求和的定義

有一個n行m列的數表：
$\begin{array}{l}{a_{11}, a_{12}, a_{13}, \cdots, a_{1 m}} \\ {a_{21}, a_{22}, a_{23}, \cdots, a_{2 m}} \\ {a_{31}, a_{32}, a_{33}, \cdots, a_{2 m}} \\ {\cdots} \\ {a_{n 1}, a_{n 2}, a_{n 3}, \cdots, a_{n m}}\end{array}$

數表裏的每個元素都由兩個相互獨立的數i，j決定，即每一項都是i，j的二元函數，一般項爲a_ij ，i = 1,2…n; j = 1,2…m
這n × m項的和記爲$\sum_{j=1}^{m}(\sum_{i=1}^{n} a_{ij})$ 或者$\sum_{i=1}^{n}(\sum_{j=1}^{m} a_{ij})$

三、雙重求和∑∑交換求和順序

第i行的元素的和記爲Ri：
$R_{i} = \sum_{j=1}^{m} a_{ij} = a_{i1} + a_{i2} + ... + a_{im}$
一共有n行，所有行元素的和，即數表所有元素的和記爲S：
$S = \sum_{i=1}^{n}R_{i} = \sum_{i=1}^{n}(\sum_{j=1}^{m} a_{ij})$

第j列的元素的和記爲Cj：
$C_{j} = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} = a_{1j} + a_{2j} + ... + a_{nj}$
一共有m列，所有列元素的和，即數表所有元素的和記爲S：
$S = \sum_{j=1}^{m}C_{j} = \sum_{j=1}^{m}(\sum_{i=1}^{n} a_{ij})$
所以$\sum_{i=1}^{n}(\sum_{j=1}^{m} a_{ij}) = \sum_{j=1}^{m}(\sum_{i=1}^{n} a_{ij})$
也可以寫成$\sum_{1<=i<=n,1<=j<=m}a_{ij}$
即二重和的和號（求和次序）可以交換。

但要注意，但求和項數變爲無窮或者（一個或兩個）和號變爲積分號時，往往要求級數收斂或者函數可積，相應的交換和號的結論才能成立。

Example 1
$\sum_{i=1}^{4} \sum_{j=1}^{i} f(i, j)$交換求和次序後是什麼樣的呢？
A.$\sum_{j=1}^{i} \sum_{i=1}^{4} f(i, j)$
B.$\sum_{j=1}^{4} \sum_{i=1}^{j} f(i, j)$
C.$\sum_{j=1}^{4} \sum_{i=j}^{4} f(i, j)$

因爲[1<= i <= 4][1<= j<= i] = [1<= j <= i <= 4] = [1<= j<= 4][ j <= i <= 4]
所以 選C，也可以窮舉出所有元素，如果將i作爲行號，j作爲列號，對於$\sum_{i=1}^{4} \sum_{j=1}^{i} f(i, j)$，你會發現這些元素的排列類似於下三角矩陣的形式（按行求和），然後將按行求和切換爲按列求和，也會得到C答案。

Example 2
求$\sum_{k=1}^{n} \sum_{i=1}^{k} \frac{ ia_{ij}}{k(k + 1)}$交換求和次序後的表達式。
同樣的，[1<= k <= n][1<= i<= k] = [1<= i <= k <= n] = [1<= i<= n][ i <= k <= n]
所以，$\sum_{i=1}^{n} \sum_{k=i}^{n} \frac{ ia_{ij}}{k(k + 1)}$，如果將i作爲行號，k作爲列號，對於$\sum_{k=1}^{n} \sum_{i=1}^{k} \frac{ ia_{ij}}{k(k + 1)}$ ，你會發現這些元素的排列類似於上三角矩陣的形式（按列求和），然後將按列求和切換爲按行求和。

Example 3
$\sum_{k=1}^{n}(k( \sum_{i=1}^{k}\frac{ i^2}{a_{i}}) (\frac{2}{k(k + 1)})^2)$ = $4\sum_{k=1}^{n} \sum_{i=1}^{k}\frac{ i^2}{a_{i}} \frac{k}{k(k + 1)^2}$ = $4\sum_{i=1}^{n}\frac{ i^2}{a_{i}} \sum_{k=i}^{n} \frac{k}{k(k + 1)^2}$

注意，容易出錯的地方
$\left(\sum_{i=1}^{5} f(i)\right)^{2}=\left(\sum_{i=1}^{5} f(i)\right) *\left(\sum_{i=1}^{5} f(i)\right) ≠ \sum_{i=1}^{5} \sum_{i=1}^{5} f(i) f(i) = \sum_{i=1}^{5} \sum_{i=1}^{5} f^2(i)$
而是
$\left(\sum_{i=1}^{5} f(i)\right)^{2}=\left(\sum_{i=1}^{5} f(i)\right) *\left(\sum_{i=1}^{5} f(i)\right) = \sum_{i=1}^{5} \sum_{j=1}^{5} f(i) f(j)$

–更詳細內容可閱讀《具體數學》第二章 和式