我猜你不懂矩阵分析？？？机器人控制、SLAM先导知识 ——（1.1）线性空间

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1.1、线性空间

给定非空集合$V$和域$\Bbb{F}$，若存在映射$\sigma$：$V×V→V$、$(V_1,V_2)\mapsto\sigma（V_1,V_2)$则称$\sigma$为$V$上的加法。

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1.1.1 域

域： 有+，-，×，÷的一个运算系统。

那么什么不是域呢？
$Z_+ = \{0, 1, 2, 3, 4, ...\}$这就不是个域，因为不存在除法、减法的运算，0-1不再$Z_+$的集合内了。
$Z=\{0, ±1, ±2, ...\}$这也不是个域，因为不存在除法的运算。
关于一个运算是否封闭是一个很重要的问题。

那有理数（rational number，两个整数的比）集呢？ 当然是！所以成为有理数域。故可以写做$\Bbb{Q}$ —— 这种叫黑板体，表示一个域的时候这样写。当然还有实数（Real Number）域$\Bbb{R}$和复数（Complex Number）域$\Bbb{C}$。

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1.1.2 卡氏积

×：集合的卡氏积（Cartesian Product）

$S_1×S_2=\{ \begin{bmatrix} s_1 \\ s_2 \\ \end{bmatrix}|s_1\in{S_1},s_2\in{S_2}\}$
就是形成的元素对。可以通过 把平面和座标轴的轴线的关系联系起来 通过卡氏积来理解。

加法理解为映射（二元函数）$\sigma：V×V\to V$，任意抽取两个值进行加法运算，应当理解为从$V$的卡氏积里抽取一个“对”，是有顺序的。$\Bbb R^2 \to \Bbb R$

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1.1.3 $\mapsto$

$\mapsto$： 需要注意$\to$和$\mapsto$的区别，第二个座标多了一道；用法上：
$A\to B$$a\mapsto b$
这就能看出区别，两者都代表映射关系，$\to$两边都是集合，$\mapsto$两边都是集合里的元素。

举例：函数$sinx$是一个映射，我们这里使用定义域$(-\infty,\infty)$到值域$[-1,1]$的映射。那么π到0的映射就能写成 π $\mapsto$ 0。

我们需要把固有的概念改变一下，把加法看做二元映射，

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1.1.4 线性空间

上面都是先导知识，那么设$V$是一个非空集合，$\Bbb{P}$是一个数域，在$V$上定义了一种代数运算，记为“$+$”；定义了$\Bbb{P}$与$V$到$V$的一种代数运算，成为数量乘法（简称数乘），记为“$\cdot$”，如果满足“通常的运算规则”，则称集合$V$为数域$\Bbb{P}$上的线性空间。

通常的运算规则：
熟知的加法交换律，结合律，分配率，有零元，有负元等等。

解释一下有零元，就是“存在$e\in{V}$，满足$e+v=v$”。其实就是零和任意元素相加都是该元素本身。这里是抽象的概念。
那么有负元，就是“对任意$v\in{V}$存在$a\in{V}$使$v+a=e$，$e$是零元，称作$a=-v$”。

对于数乘：

1. $(v_1+v_2)·k=v_1·k+v_2·k$，这里的加法都是向量的加法；
2. $v·(k_1+k_2)=v·k_1+v·k_2$，这里前者加法是两个数字相加，后者是向量的加法；
3. $v·(k·l)=(v·k)·l$，这里有四个乘，第一个、第三个、第四个是数乘；第二个是数字的乘法。

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为什么做数乘时把数放在向量右边？？

若向量为列向量，数乘法的数写在右侧，若向量为行向量，数乘法的数写在左侧。
原因：$\begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\ 1 \\3\\ \end{bmatrix}·2=\begin{bmatrix} 1 \\ 2\\6 \\ \end{bmatrix}$可以看做一个$[3,1]$和$[1,1]$的矩阵相乘。

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$F(I,\Bbb R^n)$函数空间，$I$是一个区间，$\Bbb R^n$是n个分量的域。例如：$F([0,1],\Bbb R^2)$，元素为$f=\begin{bmatrix}f_1(x)\\f_2(x)\end{bmatrix}$，这里的$f_1(x)$和$f_2(x)$均是定义域为$[0.1]$的两个分量，函数空间囊括了如$f$一样的含有多个分量的在$I$区间下的函数元素。
$f=\begin{bmatrix}f_1(x)\\f_2(x)\\...\\ f_n(x)\end{bmatrix}$这就是$F(I,\Bbb R^n)$函数空间中的函数元素，是在$I$区间下的。

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定义（向量组及向量组拼成的抽象矩阵）
设$V$是$\Bbb F$上的线性空间，$V$中的有限序列$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$称为$V$中的一个向量组，向量组按顺序排成的行称为向量组拼成的抽象矩阵。
$\begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_2&...&\alpha_n \end{bmatrix}$

线性空间的目的是：将空间（笛卡尔座标系）解析几何的方法抽象到一般线性空间里。

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1.1.5 线性空间的相关性

• 向量组$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$称为线性相关，如果存在不全为零的$p$个数 $k_i\in\Bbb F,i=1,...,p$，使得$\alpha_1k_1+\alpha_2k_2+...+\alpha_pk_p=0$
• 向量组 $\alpha_1,...,\alpha_p$称为线性无关，如果它不是线性相关的

线性相关：

$\exists{\begin{bmatrix}k_1\\k_2\\...\\k_p\end{bmatrix}}\not=0,\begin{bmatrix}k_1\\k_2\\...\\k_p\end{bmatrix}\in\Bbb F^p,\alpha_1k_1+\alpha_2k_2+...+\alpha_pk_p=0$
注：$(\exists a)P(a)$ 的否定为 $\forall a\overline{P(a)}$ 就是对任意的$a$都不具有$P(a)$的性质。

线性无关：

$\forall{\begin{bmatrix}k_1\\k_2\\...\\k_p\end{bmatrix}}\not=0,\begin{bmatrix}k_1\\k_2\\...\\k_p\end{bmatrix}\in\Bbb F^p,\alpha_1k_1+\alpha_2k_2+...+\alpha_pk_p\not=0$这里的0是线性空间中的0向量不是数域的0。

（逆否命题） 若$\alpha_1k_1+\alpha_2k_2+...+\alpha_pk_p\not=0$，则$k_i=0$。

（线性相关性的矩阵描述）
$\begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_2&...&\alpha_p\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\...\\x_p\end{bmatrix}=0$这是一个齐次方程组。
若线性相关则这个方程组有非零解；若线性无关则这个方程组只有零解。

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两个向量组之间的线性表示：

$\alpha_1,...,\alpha_p$；$\beta_1,...,\beta_q$；$\beta$

• 称 $\beta$ 可由 $\alpha_1,...,\alpha_p$ 线性表示。
  如果在 $k_1,...,k_p\in\Bbb F$，使得 $\beta=\alpha_1k_1+....+\alpha_pk_p$。

• 称 $\beta_1,...,\beta_q$ 可由$\alpha_1,...,\alpha_p$线性表示。
  如果每个$\beta_i$都能由$\alpha_1,...,\alpha_p$线性表示。

（矩阵表达）
$\begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_2&...&\alpha_p\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\...\\x_p\end{bmatrix}=\beta$
$\beta$可由{$\alpha_i$}线性表示，这是一个非齐次线性方程组。
$\begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_2&...&\alpha_p\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_{11}&x_{12}&...&x_{1q}\\x_{21}&x_{22}&...&x_{2q}\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\x_{p1}&x_{p2}&...&x_{pq}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\beta_1&\beta_2&...&\beta_q\end{bmatrix}$
$AX=B（矩阵方程有解）$
线性表示是具有传递性的。

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1.1.6 向量组的极大线性子组

向量组的极大线性子组：

从母序列中挑出一个子序列构成向量组，这个子序列构成的向量组为原来母序列的子组。

子组 $\beta_1,...,\beta_s$ 称为 $\alpha_1,...,\alpha_p$ 的极大线性子组，若：

• $\{\beta_j\}$ 线性无关；
• 若 $\{\gamma_k\}=\gamma_1,...,\gamma_t$ 也是 $\alpha_1,...,\alpha_p$ 的子组，$s<t$ ，则 $\{\gamma_k\}$ 线性相关。就意味着在线性无关的范围内，$\{\beta_j\}$ 已经是最大的向量空间了。

极大性： $\forall\alpha_i\in\{\alpha_1,...,\alpha_p\}，\alpha_i$都可由$\{\beta_j\}$ 线性表示。（生成性）

母组可由极大线性子组线性表示。

向量组的极大线性无关组中向量的个数称为向量组的秩。

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1.1.7 基与座标

定义（有限维线性空间、基、座标）

$V$是数域$\Bbb F$上的线性空间，如果有正整数$n$，即$V$中的向量组 $\alpha_1,...,\alpha_n$ 使得：

• （无关性） $\{\alpha_i\}$ 线性无关；
• （生成性）$\forall\alpha\in V$ ，均可由$\{\alpha_i\}$线性表示
  $\alpha=\alpha_1k_1+\alpha_2k_2+...+\alpha_nk_n=\begin{bmatrix}\alpha_1&\alpha_2&...&\alpha_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}k_1\\k_2\\\vdots\\k_n\end{bmatrix}$则称$V$是 $n$-维线性空间。

  • 线性空间的维数是唯一的。

  • $\{\alpha_i\}$成为$V$的一个基（座标系）。

  • $\begin{bmatrix}k_1\\k_2\\\vdots\\k_n\end{bmatrix}\in\Bbb F^n$ 称为 $\alpha\in V$沿着该基的座标向量。

    [抽象向量] = [基矩阵] [座标向量]

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1.1.8 基实现抽象线性空间到标准线性空间之间的一一对应

$\sigma:S_1\to S_2$$\forall s_2\in S_2，\exists s_1 \in S_1$ $\sigma(s_1)=s_2$对任意 (Arbitrary) 的$s_2$属于$S_2$，存在$s_1$属于$S_1$，使得$s_1$的项就是$s_2$。这称作 满射(surjection)。
若$\sigma(s_1)=\sigma(s_1')$则$s_1=s_1'$，这称作 单射(injection)。

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$\Bbb F^n$的标准基与一般基

$e_1=\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{bmatrix},e_2=\begin{bmatrix}0\\1\\\vdots\\0\end{bmatrix},\dots,e_n=\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots\\1\end{bmatrix}$是$\Bbb F^n$的标准基。标准基向量拼成的基矩阵是单位矩阵。单位矩阵的列向量组是标准基向量组。

$\Bbb F^n$是标准线性空间。
如果一个向量组满足秩和组内向量个数相等，则其向量组线性无关。（无关性）
如果$Ax=b$该方程组有解，则$Rank(A)=Rank(A|b)$，矩阵的秩和增广矩阵的秩相等，也就是方程组和未知数个数相等。

秩：行秩 = 列秩 = 秩。

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无限维空间的例

$\Bbb F[x]=\{f|f\in F(\Bbb F,\Bbb F),$ 且$f$可写成多项式$\}$ 简单讲就是向量都是多项式，且定义域和值域都在$\Bbb F$这个数域上。

$\Bbb F_n[x]=\{$次数$<n,$ 以$\Bbb F$中数为系数的多项式$\}$

令$\Bbb F=\Bbb R$，那么：

• $\Bbb R_n[x]$是$n$-维的；
• $\Bbb R[x]$不是有限维的。（无限维的）

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1.1.9 子空间

定义： 设$V$是$\Bbb F$上的线性空间，$W≤V$是非空子集。若：

• 对加法封闭$\alpha、\beta\in W\implies\alpha+\beta\in W$。即在$W$中任意取两个元素，经过加法运算还在$W$内；数乘相似
• 对数乘封闭$k\in\Bbb F,\alpha\in W\implies\alpha·k\in W$

则称$W$是$V$的一个子空间。

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①向量组生成的子空间及子空间的生成组

（向量组生成的子空间及子空间的生成组）

$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_p$ 是向量组，定义一个 $W=span\{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_p\}=\{\alpha_1c_1+\alpha_2c_2+\dots+\alpha_pc_p\}$ 是$V$的一个子空间。这就是向量组生成的子空间。

已知$W$，若有向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_p$ ，使得 $W=span\{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_p\}$ ，我们称$\alpha_i$为子空间的生成组，生成组提供了子空间的一种表现方式。

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②矩阵的核与像

（$A\in \Bbb F^{m×n}$的核与像）

矩阵的核与像。$\{x|x\in \Bbb F^n,Ax=0\}$（x$\in \Bbb F^n$的原因是$A=[a_{ij}]_{m×n}$那么矩阵相乘就需要一个$n$行的$x$） 是 $\Bbb F^n$ 的子空间，这个子空间称作 $A$矩阵的核。

也就是以$A$为系数的齐次方程组的解空间。

$\{y|y \in \Bbb F^m,$存在$x\in \Bbb F^n,$使得$y=Ax\}=\{Ax|x \in \Bbb F^n\}$是 $\Bbb F^m$ 的子空间，称作 $A$矩阵的像。

这里的$Ax$实则是$A$的列向量组以$x$为系数的线性组合。$A$的像就是$A$的列向量组张成的子空间。

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③子空间的交与和

设$U、W$是$V$的子空间

• $U∩W$也是子空间，称为$U、W$的交（子空间）；
• $U+W=Span\{U、W\}=\{U+W|u=U,w=W\}$也是子空间，称为$U、W$的和（子空间）。

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