[數學建模]線性規劃與matlab解法

1.1 線性規劃問題（LinearProgramming，LP）

1.1.1 線性規劃的實例和定義

某機牀廠生產甲、乙兩種機牀，每臺銷售後的利潤分別爲4000元與3000元。生產甲機牀需用A、B機器加工，加工時間分別爲每臺2h和1h；生產乙機牀需用A、B、C三種機器加工，加工時間爲每臺1h。若每天可用於加工的機器時數爲A機器10h、B機器8h和C機器7h，問該廠應生產甲、乙機牀各幾臺，才能使總利潤最大？

設總利潤爲z ，生產x1 臺甲機器，生產x2 臺乙機器，則目標函數z=4x1+3x2
約束條件s.t.（subject to）⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪2x1+x2≤10,x1+x2≤8,x2≤7,x1,x2≤0。

1.1.2 線性規劃問題的解的概念

一般情況

目標函數max（z=∑ni=1cixi），約束條件s.t.{∑nj=1aij=bi，i=1,2,...，m,xj≥0,j=1,2,...,n。式中:bi≥0,i=1,2,...，m。
可行解：滿足約束條件的解 x=[x1,...,xn]T ,使式子達到最大值爲最優解
可行域：所有可行解構成的集合稱爲問題的可行域，記爲R。

1.1.3 線性規劃的Matlab標準形式及軟件求解

標準形式爲
minx=fTX,s.t.⎧⎩⎨A⋅X≤B,Aeq⋅X=beq,lb≤X≤ub
[x,fval] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

(f爲價值向量，B 爲資源向量，x返回決策向量的取值，fval返回目標函數的最優值，Aeq，beq對應線性等式約數，lb,ub分別對應決策向量的下界向量和上界向量。)

1.2.1 案例：投資的收益和風險

市場上有n中資產si(u=1,2,...,n) 可以選擇，現用數額爲M的相當大的資金作一個時期的投資。這n種資產在這一時期內購買si 的平均收益率爲ri ,風險損失率爲 qi , 投資越分散，總的風險越小，總體風險可用投資的si 中最大的一個風險來度量。購買si 時要付交易費，費率爲pi , 當購買額不超過給定值ui 時，交易費按購買ui 計算。另外，假定同期銀行存款利率是r0 ,既無交易費又無風險（r0=5% ）。

si	ri /%	qi /%	pi /%	ui /%
s1	28	2.5	1	103
s2	21	1.5	2	198
s3	23	5.5	4.5	52
s4	25	2.6	6.5	40

1.2.2 模型的分析與建立

（1）總體風險用所投資的si 中最大的一個風險來衡量，即max{qixi |i=1,2,…,n}。

（2）購買si（i=1,2,...,n） 所付交易費是一個分段函數，即
交易費 = {pixi,xi>ui,piui,xi≤ui。
而題目所給的定值ui （單位：元）相對總投資M很少，piui 更小，這樣購買si 的淨收益可以簡化爲（ri−pi）xi 。

（3）要使淨收益儘可能大，總體風險儘可能小，這是一個多目標規劃模型。
目標函數爲{max∑ni=0（ri−pi）xi,min(max1≤i≤n(qixi))。

（4）模型優化。
①在實際投資中，投資者承受風險的程度不一樣，若給定風險一個界限a，時最大的一個風險率爲a，即qixiM≤a(i=1,2,...,n) , 可找到相應的投資方案。這樣把多目標規劃變成一個目標的線性規劃。

模型一：固定風險水平，優化收益
max∑ni=0(1+pi)xi,s.t.{qixiM≤a,i=1,2,...,n,∑ni=0(1+pi)xi=M,xi≥0,i=0,1,...,n。

②在實際投資中，若投資者希望總盈利至少達到水平k以上，在風險最小的情況下尋求相應的投資組合。

模型二：固定盈利水平，極小化風險
min(max1≤i≤n(qixi))。s.t.⎧⎩⎨∑ni=0(ri−pi)xi≥k,∑ni=0(1+pi)xi=M,xi≥0,i=0,1,2,...,n。

③投資者在權衡資產風險和預期收益兩方面時，希望選擇一個令自己滿意的投資組合。因此對風險，收益分別賦予權重s(0<s≤1)和s−1,s稱爲投資偏好系數。

模型三：帶有權值的風險收益模型
min(s⋅max1≤i≤n(qixi))−(1−s)∑ni=0(ri−pi)xi,s.t.{∑ni=0(1+pi)xi=M,xi≥0,i=0,1,2,...,n。

1.2.3 模型的求解

模型一：
min f=[−0.05,−0.27,−0.19,−0.185,−0.185]⋅[x0,x1,x2,x3,x4]T,s.t.⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x0+1.01x1+1.02x2+1.045x3+1.065x4=1,0.025x1≤a,0.015x2≤a,0.055x3≤a,0.026x4≤a,xi≥0,i=0,1,...,4。

clc,clear
a=0;
hold on
while a<0.05
    c=[-0.05,-0.27,-0.19,-0.185,-0.185];
    A=[zeros(4,1),diag([0.025,0.015,0.055,0.026])];
    b=a*ones(4,1);
    Aeq=[1,1.01,1.02,1.045,1.065];
    beq=1;
    LB=zeros(5,1);
    [x,Q]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB);
    Q=-Q;
    plot(a,Q,'*k');
    a = a + 0.001;
end
xlabel('a'),ylabel('Q')