恆虛警檢測（Constant False Alarm Rate, CFAR）

1 簡介

統計檢測理論是利用信號的統計特性和噪聲的統計特性等信息來建立最佳判決的數學理論。主要解決在受噪聲干擾的觀測中，信號有無的判決問題。其數學基礎就是統計判決理論，又稱假設檢驗理論。 假設檢驗是進行統計判決的重要工具，信號檢測相當於數理統計中的假設檢驗。 假設就是檢驗對象的可能情況或狀態。對於雷達或聲吶檢測來說，可以選用兩個假設，即目標存在或不存在。

由於噪聲的存在及觀察樣本數或樣本長度的限制，在檢測過程中，不可避免地會產生判決錯誤。問題是怎樣儘可能地減少這些錯誤，這就是檢測系統的最佳化問題。錯誤一般分爲兩種，一種是漏報，一種是虛警，在不同的工作情況下，這兩種錯誤所造成的後果並不一樣，因此可能對不同的錯誤有不同的重視程度，這就引入了最佳準則問題。不同的準則下有不同的判決規則（如選取的判決門限不同），使得檢測系統有不一樣的虛警錯誤和漏報錯誤分配。 這樣的準則有最小平均風險準則（又稱Bayes準則）、極大極小準則（又稱安全平均風險準則）和Neyman-Pearson準則（又稱檢測概率最大準則）等。

Bayes 準則需知道先驗概率和代價函數，極大極小準則需知道代價函數。Neyman-Pearson 準則則是解決二者均不知的判決問題，該方法是確定虛警概率或漏報概率中的一種，再去求使另一種達到極小的判決，也就是假定有一類錯誤最重要，因而作出嚴格的限制，再去確定使其它類錯誤最小的判決界。一般對虛警要求較高，所以，先限定虛警，再去求最小漏報或最大檢測，所以 N-P 準則有時也叫恆虛警檢測。 恆虛警檢測技術（CFAR，Constant False-Alarm Rate）是雷達系統在保持虛警概率恆定條件下對接收機輸出的信號與噪聲作判別以確定目標信號是否存在的技術。

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2 原理

恆虛警檢測器首先對輸入的噪聲進行處理後確定一個門限，將此門限與輸入端信號相比，如輸入端信號超過了此門限，則判爲有目標，否則，判爲無目標。一般信號由信號源發出，在傳播的過程中受到各種干擾，到達接收機後經過處理，輸出到檢測器，然後檢測器根據適當的準則對輸入的信號做出判決。

2.1 定義

信號接收機輸出端的信號用$x(t)$表示，這裏存在兩種情況：

1. 噪聲和信號同時存在：$x(t)=s(t)+n(t)$
2. 只有噪聲存在：$x(t)=n(t)$

用$H_{0}$和$H_{1}$分別表示接收機的無信號輸入和有信號輸入的假設；
用$D_{0}$和$D_{1}$分別表示檢測器作出無信號和有信號的判決結果。

於是接收機的輸入與檢測器的判決將有四種情況：

1. $H_{0}$爲真，判爲$D_{0}$，即接收機無信號輸入，檢測器判爲無信號，稱爲正確不發現；
2. $H_{0}$爲真，判爲$D_{1}$，即接收機無信號輸入，檢測器判爲有信號，稱爲虛警；
3. $H_{1}$爲真，判爲$D_{0}$，即接收機有信號輸入，檢測器判爲無信號，稱爲漏警；
4. $H_{1}$爲真，判爲$D_{1}$，即接收機有信號輸入，檢測器判爲有信號，稱爲正確檢測；

其中第一種情況和第四種情況屬於正確判決，其餘兩種屬於錯誤判決。

用$p(z|{{H}_{0}})$和$p(z|{{H}_{1}})$分別表示無信號輸入和有信號輸入接收機時，接收機輸出端的信號電平的概率密度函數；
用$Z_{0}$和$Z_{1}$分別表示檢測器作出無信號和有信號判決的判決區域，當輸入的電平在$Z_{0}$區域判爲無信號，在$Z_{1}$區域判爲有信號。

2.2 推導

設虛警概率爲${P}_{F}$，漏報概率爲${P}_{M}$，檢測概率爲${P}_{M}$，則N-P準則爲

利用拉格朗日乘子$\lambda$構造目標函數

$J={{P}_{M}}+\lambda ({{P}_{F}}-\alpha )$
$=\int_{{{Z}_{0}}}{p(z|{{H}_{1}})dz}+\lambda \left[ \int_{{{Z}_{1}}}{p(z|{{H}_{0}})dz}-\alpha \right]$
$=\int_{{{Z}_{0}}}{p(z|{{H}_{1}})dz}+\lambda \left[ 1-\int_{{{Z}_{0}}}{p(z|{{H}_{0}})dz}-\alpha \right]$
$=J=\lambda \left( 1-\alpha \right)+\int_{{{Z}_{0}}}{\left[ p(z|{{H}_{1}})-\lambda p(z|{{H}_{0}}) \right]dz}$

顯然$P_{F}=\alpha$時，使J達到最小就等價於使$P_{M}$達到最小。於是令$J$對${Z}_{0}$的導數爲$0$，也就是積分號內值爲$0$，則有
$\lambda ({{z}_{0}})=\frac{p({{z}_{0}}|{{H}_{1}})}{p({{z}_{0}}|{{H}_{0}})}=\lambda$

而似然比爲
$\lambda (z)=\frac{p(z|{{H}_{1}})}{p(z|{{H}_{0}})}$

這裏${z}_{0}$就是電平比較門限，若輸入電平${z}$大於${z}_{0}$，也就是$\lambda (z)$大於$\lambda$，判決有信號輸入；若輸入電平${z}$小於${z}_{0}$，也就是$\lambda (z)$小於$\lambda$時，判決無信號輸入。

其中$\lambda$的取值由$P_{F}=\alpha$確定。在輸入信號是一維的情況下，可由下式求得$\lambda$。$\int_{\lambda }^{\infty }{p\left[ \lambda (z)|{{H}_{0}} \right]d\lambda (z)}=\alpha$或者由下式求得$z_{0}$
${{P}_{F}}=\int_{{{z}_{0}}}^{\infty }{p\left[ z|{{H}_{0}} \right]dz}$再由下式求得$\lambda$。
$\lambda =\frac{p({{z}_{0}}|{{H}_{1}})}{p({{z}_{0}}|{{H}_{0}})}$

2.3 舉例

數字通信系統中，備選假設爲$H_{1}$時，信源輸出電壓爲$1$；備選假設爲$H_{0}$時，信源輸出爲$0$。信號在通信信道上迭加了噪聲$n(t)$，附加噪聲$n(t)$爲零均值，方差爲1的高斯噪聲。試構造一個$P_{F}=0.1$的聶曼-皮爾遜接收機。

解：在$H_{1}$和$H_{0}$兩種假設下，若$z$爲接收信號，$n$爲噪聲，則接收機的輸出信號可以寫爲

• $H_{1}$：$z=1+n$
• $H_{0}$：$z=n$

由於$n$是高斯變量，均值爲 0、方差爲 1。在這兩種假設下，$z$的概率密度函數爲

$p(z|{{H}_{0}})=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp (-\frac{{{z}^{2}}}{2})$

$p(z|{{H}_{1}})=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp [-\frac{{{\left( z-1 \right)}^{2}}}{2}]$

似然比爲

$\lambda (z)=\frac{p(z|{{H}_{1}})}{p(z|{{H}_{0}})}=\exp (z-\frac{1}{2})$

那麼判決規則爲：若$\lambda (z)$大於$\lambda$，判決有信號輸入；若$\lambda (z)$小於$\lambda$時，判決無信號輸入。
用對數似然比的形式將上式寫爲

$\ln \lambda (z)=\ln \frac{p(z|{{H}_{1}})}{p(z|{{H}_{0}})}=z-\frac{1}{2}$

則判決規則變成：若信號電平$z$大於$(\ln \lambda +\frac{1}{2})$，判決有信號輸入；若$z$小於$(\ln \lambda +\frac{1}{2})$時，判決無信號輸入。

接下來求$\lambda$，設$(\ln \lambda +\frac{1}{2})\equiv \gamma$，由於 ${P}_{F}=0.1$，即

$\int_{\gamma }^{\infty }{p(z|{{H}_{0}})dz}=\int_{\gamma }^{\infty }{\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp (-\frac{{{z}^{2}}}{2})dz}=0.1$

於是$\gamma=1.29$，固有$\lambda =\exp (\gamma -0.5)=2.2$

則檢測概率爲
${{P}_{D}}=P({{D}_{1}}|{{H}_{1}})=\int_{\gamma }^{\infty }{p(z|{{H}_{1}})dz}=\int_{\gamma }^{\infty }{\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp [-\frac{{{(z-1)}^{2}}}{2}]dz}=0.614$

可以看出，$P_{D}$過低，原因是$P_{F}$較小，適當增大虛警概率$P_{F}$門限，可提高檢測概率$P_{D}$，當採用多個觀察時，效果也會變好。

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3 總結

雷達信號的檢測總是在干擾背景下進行的，這些干擾包括接收機內部的熱噪聲，以及地物、雨雪、海浪等雜波干擾，有時還有敵人施放的有源和無源干擾。雜波和敵人施放干擾的強度常比接收機內部噪聲電平高得多。因此，在強幹擾中提取信號，不僅要求有一定的信噪比，而且必須對信號作恆虛警處理。

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