皮尔森相关系数公式
文字描述：相关性系数(Px,y)等于X,Y之间的协方差cov(X,Y)除以它们各自标准差的乘积(σX,σY)
1. 先解释分子，为什么用协方差？
因为我们想要研究的两组数据的相关性，两个组数据如果相关的的话，要满足的最基本的条件：变化趋势相似（例如正相关或负相关）
而协方差就可以告诉我们这一点，协方差的公式为：
文字描述为：如果有X,Y两个变量，每个时刻的“X值与其均值之差”乘以“Y值与其均值之差”得到一个乘积，再对这每时刻的乘积求和并求出均值
如果X，Y的变化趋势是有规律的话，例如正相关，那么在X低于均值的时候，Y大概率也会低于均值；X高于均值的时候，Y大概率也会高于均值，所以两者相乘后的乘积大概率是正数（大量正数+少量负数），所以数学期望的话也是个正数，所以最后正相关的符号是正的
例如负相关，那么在X低于均值的时候，Y大概率也会高于均值；X高于均值的时候，Y大概率也会低于均值，所以两者相乘后的乘积大概率是负数，所以数学期望的话也是个负数（大量负数+少量正数），所以最后负相关的符号是负的
如果X，Y的变化趋势是没有规律的，在X低于均值的时候，Y可能低于均值也可能高于均值，所以他们乘后，有一部分乘积的结果为正，一部分为负，所以求数学期望的时候相互抵消了（正数和负数的数量相当），所以最后不相关的数据结果会很接近0；
2. 接下来解释分母，为什么用标准差的乘积
协方差除以标准差其实就是做一个归一化的操作，他的意义在于：消除量纲的影响，单纯反应两个变量每单位变化时的相似程度
为什么量纲会有影响呢？例如下图中，情况一和情况二的红线曲线变化幅度看起来差很多，但是实际上，两根红线的差别只是在於单位差了10000倍，但是绿线的变化对他们的影响其实是一样的，当绿线在最低峰的时候，红线也在最低峰；当绿线在最高峰的时候，红线也在最高峰；两种情况的相关性应当是一样的（相关系数只关注红线和绿线之间互相影响的程度）
如果只考虑协方差的话，情况一的协方差会比情况二大很多，我们想要研究的是变化幅度，不希望量纲的不同会造成对结果的影响，因此需要一个东西来消除量纲的影响
哪为什么标准差可以用来消除量纲的影响呢？
标准差的公式为
文字描述：求出某一个样本和均值的偏差，因为偏差可能为正也可能为负，所以平方一下，然后把所以偏差的平方都加起来得到偏差平方的数学期望，然后再开方把偏差拉回原来的量级
（其实平方是为了解决正负号的问题，如果一组偏差很大的数据，一时为很大的正数，一时为很大的负数，两个直接相加的话，偏差的期望就会变成0，就变成了这组数据没有偏差，这是我们不希望看到的，所以需要加上平方。而开方是为了消除平方的影响，把偏差的数学期望拉回原来的量级）
所以标准差表示的就是一组数据内部的偏离程度，也可以理解为变化幅度。这个变化幅度可能很大，也可能很小。
现在我们希望相关系数这个指标，能够消除量纲的影响，而量纲和变化幅度的意义其实是一样的。
例如，情况一中，X的单位是1千克，Y的单位是1元，Y每增加1元，X就增加1千克
情况二中，X的单位是0.1克，Y的单位是1元，Y每增加1元，X就增加0.1克
两个X的单位相差10000倍，导致他们的变化幅度也是相差10000倍（分别为1千克/元与0.1克/元）
因此协方差除以标准差的话，就变成了单位变化时的协方差，消除了量纲的影响（也可以说是消除了变化幅度的影响）
总结
以上就是皮尔森相关系数公式的理解，简单地总结就是：
- 分子的协方差用来得到相关性
- 分母的标准差用来消除量纲（或变化幅度）的影响
公式和图例来源，这篇文章讲得很好：如何通俗易懂地解释「协方差」与「相关系数」的概念？