https://blog.csdn.net/BigData_Mining/article/details/81279612
1.互信息的定義
正式地，兩個離散隨機變量 X 和 Y 的互信息可以定義爲：
其中 p(x,y) 是 X 和 Y 的聯合概率分佈函數，而p(x)和p(y)分別是 X 和 Y 的邊緣概率分佈函數。
其中 p(x,y) 當前是 X 和 Y 的聯合概率密度函數，而p(x)和p(y)分別是 X 和 Y 的邊緣概率密度函數。
互信息量I(xi;yj)在聯合概率空間P(XY)中的統計平均值。 平均互信息I(X;Y)克服了互信息量I(xi;yj)的隨機性,成爲一個確定的量。如果對數以 2 爲基底，互信息的單位是bit。
直觀上，互信息度量 X 和 Y 共享的信息：它度量知道這兩個變量其中一個，對另一個不確定度減少的程度。例如，如果 X 和 Y 相互獨立，則知道 X 不對 Y 提供任何信息，反之亦然，所以它們的互信息爲零。在另一個極端，如果 X 是 Y 的一個確定性函數，且 Y 也是 X 的一個確定性函數，那麼傳遞的所有信息被 X 和 Y 共享：知道 X 決定 Y 的值，反之亦然。因此，在此情形互信息與 Y（或 X）單獨包含的不確定度相同，稱作 Y（或 X）的熵。而且，這個互信息與 X 的熵和 Y 的熵相同。（這種情形的一個非常特殊的情況是當 X 和 Y 爲相同隨機變量時。）
互信息是 X 和 Y 聯合分佈相對於假定 X 和 Y 獨立情況下的聯合分佈之間的內在依賴性。於是互信息以下面方式度量依賴性：I(X; Y) = 0 當且僅當 X 和 Y 爲獨立隨機變量。從一個方向很容易看出：當 X 和 Y 獨立時，p(x,y) = p(x) p(y)，因此：
此外，互信息是非負的（即 I(X;Y) ≥ 0; 見下文），而且是對稱的（即 I(X;Y) = I(Y;X)）。
2.平均互信息量的物理含義
（1）觀察者站在輸出端
H(X/Y) —信道疑義度/損失熵.。Y關於X的後驗不確定度。表示收到變量Y後,對隨機變量X仍然存在的不確定度。代表了在信道中損失的信息。
H(X) —X的先驗不確定度/無條件熵。
I(X;Y)—收到Y前後關於X的不確定度減少的量。從Y獲得的關於X的平均信息量。
（2）觀察者站在輸入端
H(Y/X)—噪聲熵。表示發出隨機變量X後, 對隨機變量Y仍然存在的平均不確定度。如果信道中不存在任何噪聲, 發送端和接收端必存在確定的對應關係, 發出X後必能確定對應的Y, 而現在不能完全確定對應的Y, 這顯然是由信道噪聲所引起的。
I(Y;X) —發出X前後關於Y的先驗不確定度減少的量。
（3）觀察者站在通信系統總體立場上
H(XY)—聯合熵.表示輸入隨機變量X, 經信道傳輸到達信宿, 輸出隨機變量Y。即收,發雙方通信後,整個系統仍然存在的不確定度.
I(X;Y) —通信前後整個系統不確定度減少量。在通信前把X和Y看成兩個相互獨立的隨機變量, 整個系統的先驗不確定度爲X和Y的聯合熵H(X)+H(Y); 通信後把信道兩端出現X和Y看成是由信道的傳遞統計特性聯繫起來的, 具有一定統計關聯關係的兩個隨機變量, 這時整個系統的後驗不確定度由H(XY)描述。
以上三種不同的角度說明: 從一個事件獲得另一個事件的平均互信息需要消除不確定度,一旦消除了不確定度,就獲得了信息。
3.平均互信息量的性質
（1）對稱性
I(X;Y)= I(Y;X)
由Y提取到的關於X的信息量與從X中提取到的關於Y的信息量是一樣的。 I(X;Y)和 I(Y;X)只是觀察者的立足點不同。
（2）非負性
I(X;Y)≥0
平均互信息量不是從兩個具體消息出發, 而是從隨機變量X和Y的整體角度出發, 並在平均意義上觀察問題, 所以平均互信息量不會出現負值。或者說從一個事件提取關於另一個事件的信息, 最壞的情況是0, 不會由於知道了一個事件,反而使另一個事件的不確定度增加。
（3）極值性
I(X;Y)≤H(X)
I(Y;X)≤H(Y)
從一個事件提取關於另一個事件的信息量, 至多是另一個事件的熵那麼多, 不會超過另一個事件自身所含的信息量。當X和Y是一一對應關係時: I(X;Y)=H(X), 這時H(X/Y)=0。從一個事件可以充分獲得關於另一個事件的信息, 從平均意義上來說, 代表信源的信息量可全部通過信道。當X和Y相互獨立時: H(X/Y) =H(X), I(Y;X)=0。 從一個事件不能得到另一個事件的任何信息,這等效於信道中斷的情況。
（4） 凸函數性
平均互信息量是p(xi)和p(yj /xi)的函數,即I(X;Y)=f [p(xi), p(yj /xi)];
若固定信道,調整信源, 則平均互信息量I(X;Y)是p(xi)的函數,即I(X;Y)=f [p(xi)];
若固定信源,調整信道, 則平均互信息量I(X;Y)是p(yj /xi)的函數,即I(X;Y)=f [p (yj /xi)]。
平均互信息量I(X;Y)是輸入信源概率分佈p(xi)的上凸函數(concave function; or convext cap function)。
平均互信息量I(X;Y)是輸入轉移概率分佈p(yj /xi)的下凸函數(convext function; or convext cup function)。
（5）數據處理定理
串聯信道：在一些實際通信系統中, 常常出現串聯信道。例如微波中繼接力通信就是一種串聯信道。信宿收到數據後再進行數據處理, 數據處理系統可看成一種信道, 它與前面傳輸數據的信道構成串聯信道。
數據處理定理：當消息經過多級處理後,隨着處理器數目的增多,輸入消息與輸出消息之間的平均互信息量趨於變小。即
I(X;Z)≤I(X;Y)
I(X;Z)≤I(Y;Z)
其中假設Y條件下X和Z相互獨立。
兩級串聯信道輸入與輸出消息之間的平均互信息量既不會超過第Ⅰ級信道輸入與輸出消息之間的平均互信息量,也不會超過第Ⅱ級信道輸入與輸出消息之間的平均互信息量。
當對信號/數據/消息進行多級處理時, 每處理一次, 就有可能損失一部分信息, 也就是說數據處理會把信號/數據/消息變成更有用的形式, 但是絕不會創造出新的信息。這就是所謂的信息不增原理。
當已用某種方式取得Y後, 不管怎樣對Y進行處理, 所獲得的信息不會超過I(X;Y)。每處理一次, 只會使信息量減少, 至多不變。也就是說在任何信息流通系統中, 最後獲得的信息量,至多是信源提供的信息。一旦在某一過程中丟失了一些信息, 以後的系統不管怎樣處理, 如果不能接觸到丟失信息的輸入端, 就不能再恢復已丟失的信息。
4.與其他量的關係
互信息又可以等價地表示成
其中H(X)和H(Y) 是邊緣熵，H(X|Y)和H(Y|X)是條件熵，而H(X,Y)是X和Y的聯合熵。注意到這組關係和並集、差集和交集的關係類似，用Venn圖表示：
於是，在互信息定義的基礎上使用琴生不等式，我們可以證明 I(X;Y) 是非負的，因此H(X)>=H(X|Y)，這裏我們給出 I(X;Y) = H(Y) - H(Y|X) 的詳細推導:
上面其他性質的證明類似。
直觀地說，如果把熵 H(Y) 看作一個隨機變量不確定度的量度，那麼 H(Y|X) 就是 X 沒有涉及到的 Y 的部分的不確定度的量度。這就是“在 X 已知之後 Y 的剩餘不確定度的量”，於是第一個等式的右邊就可以讀作“Y的不確定度，減去在 X 已知之後 Y 的剩餘不確定度的量”，此式等價於“移除知道 X 後 Y 的不確定度的量”。這證實了互信息的直觀意義爲知道其中一個變量提供的另一個的信息量（即不確定度的減少量）。
注意到離散情形 H(X|X) = 0，於是 H(X) = I(X;X)。因此 I(X;X) ≥ I(X;Y)，我們可以制定”一個變量至少包含其他任何變量可以提供的與它有關的信息“的基本原理。
互信息也可以表示爲兩個隨機變量的邊緣分佈 X 和 Y 的乘積 p(x) × p(y) 相對於隨機變量的聯合熵 p(x,y) 的相對熵：
此外，令 p(x|y) = p(x, y) / p(y)。則
注意到，這裏相對熵涉及到僅對隨機變量 X 積分，表達式
現在以 Y 爲變量。於是互信息也可以理解爲相對熵 X 的單變量分佈 p(x) 相對於給定 Y 時 X 的條件分佈 p(x|y) ：分佈 p(x|y) 和 p(x) 之間的平均差異越大，信息增益越大。