計算機中的數學---向量組的線性相關性

向量組及其線性組合

1.定義 n個有次序的數$a_{1},a_{2},...,a_{n}$所組成的數組，稱n維向量。
2.定義 給定向量組$A:a_{1},a_{2},...,a_{m}$對任何一組實數$k_{1},k_{2},...,k_{m}$表達式$k_{1}a_{1}+k_{2}a_{2}+...+k_{m}a_{m}$稱爲向量組A的一個線性組合，$k_{1},k_{2},...,k_{m}$稱爲這個線性組合的係數。若$b=k_{1}a_{1}+k_{2}a_{2}+...+k_{m}a_{m}$，稱b能由向量組A線性表示。

由前面討論知，$R(a_{1},...,a_{m})=R(a_{1},...,a_{m},b)$

3.定義 設有向量組$A:a_{1},a_{2},...,a_{m}$及$B:b_{1},b_{2},...,b_{l}$，若B組中的每個向量都能由向量組A線性表示，則稱向量組B能由向量組A線性表示。若向量組A與向量組B能相互線性表示，稱這兩個向量組等價。

向量組A,B等價則，R(A)=R(B)=R(A,B)

向量組的線性相關性

1.定義 給定向量組$A:a_{1},a_{2},...,a_{m}$，如存在不全爲0數$k_{1},k_{2},...,k_{m}$使$k_{1}a_{1}+k_{2}a_{2}+...+k_{m}a_{m}=0$，則稱向量組A是線性相關的，否則稱它線性無關。
易知，$A:a_{1},a_{2},...,a_{m}$線性相關時，R(A)<m。線性無關時，R(A)=m。

向量組的秩

1.定義 設有向量組A，如A中能選出$r$個向量$a_{1},a_{2},...,a_{r}$滿足
向量組$A_{0}:a_{1},a_{2},...,a_{r}$線性無關
向量組A中任意$r+1$個向量都線性相關
稱，向量組$A_{0}$是向量組$A$的一個最大線性無關向量組。最大無關組所含向量個數$r$稱爲向量組A的秩。

線性方程組的解的結構

$\begin{alignedat}{4} a_{11}&x_{1}+ &a_{12}&x_{2} + ... + &a_{1n}x_{n} = &0 \\ a_{21}&x_{1}+&a_{22}&x_{2} + ... + &a_{2n}x_{n} = &0 \\ ... \\ a_{m1}&x_{1}+&a_{m2}&x_{2}+...+&a_{mn}x_{n}=&0 \end{alignedat}$
性質
1.$x_{1},x_{2}$分別是上述方程組的解，則$x=x_{1}+x_{2}$也是方程組的解
2.$x_{1}$是上述方程組的解，則$kx_{1}$也是方程組的解

齊次線性方程組的解集的最大無關組稱爲該齊次線性方程組的基礎解系。

3.設$m*n$矩陣$A$的秩$R(A)=r$，則n元齊次線性方程組$Ax=0$的解集$S$的秩$R_{s}=n-r$

$\begin{alignedat}{4} a_{11}&x_{1}+ &a_{12}&x_{2} + ... + &a_{1n}x_{n} = &b_{1} \\ a_{21}&x_{1}+&a_{22}&x_{2} + ... + &a_{2n}x_{n} = &b_{2} \\ ... \\ a_{m1}&x_{1}+&a_{m2}&x_{2}+...+&a_{mn}x_{n}=&b_{m} \end{alignedat}$
上述方程組的通解 = 對應的非齊次方程的通解 + 非齊次方程的一個特解

向量空間

1.定義 設V爲n維向量的集合，如集合V非空，且集合V對向量的加法及數乘兩種運算封閉，則稱集合V爲向量空間。
2.定義 設有向量空間$V_{1}$及$V_{2}$，若$V_{1}\subseteq V_{2}$，稱$V_{1}$是$V_{2}$的子空間
3.定義 設V爲向量空間，如$r$個向量$a_{1},a_{2},...,a_{r}\isin V$，且滿足
$a_{1},a_{2},...,a_{r}$線性無關
$V$中任一向量都可由$a_{1},a_{2},...,a_{r}$線性表示
則，向量組$a_{1},a_{2},...,a_{r}$稱爲向量空間$V$的一個基，$r$稱爲向量空間$V$的維數，稱$V$爲$r$維向量空間。
4.定義 如向量空間V中取一個基$a_{1},a_{2},...,a_{r}$，則$V$中任一向量$x$可唯一表示爲$x=k_{1}a_{1}+k_{2}a_{2}+...+k_{r}a_{r}$數組$k_{1},k_{2},...,k_{r}$稱爲向量$x$在基$a_{1},a_{2},...,a_{r}$中的座標。

在$R^3$中取定一個基$a_{1},a_{2},a_{3}$，再取一個新基$b_{1},b_{2},b_{3}$，設$A=(a_{1},a_{2},a_{3})，B=(b_{1},b_{2},b_{3})$，用A表示B的—基變換公式，向量在兩個基中座標間關係式—座標變換公式。