计算机中的数学---向量组的线性相关性

向量组及其线性组合

1.定义 n个有次序的数$a_{1},a_{2},...,a_{n}$所组成的数组，称n维向量。
2.定义 给定向量组$A:a_{1},a_{2},...,a_{m}$对任何一组实数$k_{1},k_{2},...,k_{m}$表达式$k_{1}a_{1}+k_{2}a_{2}+...+k_{m}a_{m}$称为向量组A的一个线性组合，$k_{1},k_{2},...,k_{m}$称为这个线性组合的系数。若$b=k_{1}a_{1}+k_{2}a_{2}+...+k_{m}a_{m}$，称b能由向量组A线性表示。

由前面讨论知，$R(a_{1},...,a_{m})=R(a_{1},...,a_{m},b)$

3.定义 设有向量组$A:a_{1},a_{2},...,a_{m}$及$B:b_{1},b_{2},...,b_{l}$，若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示。若向量组A与向量组B能相互线性表示，称这两个向量组等价。

向量组A,B等价则，R(A)=R(B)=R(A,B)

向量组的线性相关性

1.定义 给定向量组$A:a_{1},a_{2},...,a_{m}$，如存在不全为0数$k_{1},k_{2},...,k_{m}$使$k_{1}a_{1}+k_{2}a_{2}+...+k_{m}a_{m}=0$，则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关。
易知，$A:a_{1},a_{2},...,a_{m}$线性相关时，R(A)<m。线性无关时，R(A)=m。

向量组的秩

1.定义 设有向量组A，如A中能选出$r$个向量$a_{1},a_{2},...,a_{r}$满足
向量组$A_{0}:a_{1},a_{2},...,a_{r}$线性无关
向量组A中任意$r+1$个向量都线性相关
称，向量组$A_{0}$是向量组$A$的一个最大线性无关向量组。最大无关组所含向量个数$r$称为向量组A的秩。

线性方程组的解的结构

$\begin{alignedat}{4} a_{11}&x_{1}+ &a_{12}&x_{2} + ... + &a_{1n}x_{n} = &0 \\ a_{21}&x_{1}+&a_{22}&x_{2} + ... + &a_{2n}x_{n} = &0 \\ ... \\ a_{m1}&x_{1}+&a_{m2}&x_{2}+...+&a_{mn}x_{n}=&0 \end{alignedat}$
性质
1.$x_{1},x_{2}$分别是上述方程组的解，则$x=x_{1}+x_{2}$也是方程组的解
2.$x_{1}$是上述方程组的解，则$kx_{1}$也是方程组的解

齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系。

3.设$m*n$矩阵$A$的秩$R(A)=r$，则n元齐次线性方程组$Ax=0$的解集$S$的秩$R_{s}=n-r$

$\begin{alignedat}{4} a_{11}&x_{1}+ &a_{12}&x_{2} + ... + &a_{1n}x_{n} = &b_{1} \\ a_{21}&x_{1}+&a_{22}&x_{2} + ... + &a_{2n}x_{n} = &b_{2} \\ ... \\ a_{m1}&x_{1}+&a_{m2}&x_{2}+...+&a_{mn}x_{n}=&b_{m} \end{alignedat}$
上述方程组的通解 = 对应的非齐次方程的通解 + 非齐次方程的一个特解

向量空间

1.定义 设V为n维向量的集合，如集合V非空，且集合V对向量的加法及数乘两种运算封闭，则称集合V为向量空间。
2.定义 设有向量空间$V_{1}$及$V_{2}$，若$V_{1}\subseteq V_{2}$，称$V_{1}$是$V_{2}$的子空间
3.定义 设V为向量空间，如$r$个向量$a_{1},a_{2},...,a_{r}\isin V$，且满足
$a_{1},a_{2},...,a_{r}$线性无关
$V$中任一向量都可由$a_{1},a_{2},...,a_{r}$线性表示
则，向量组$a_{1},a_{2},...,a_{r}$称为向量空间$V$的一个基，$r$称为向量空间$V$的维数，称$V$为$r$维向量空间。
4.定义 如向量空间V中取一个基$a_{1},a_{2},...,a_{r}$，则$V$中任一向量$x$可唯一表示为$x=k_{1}a_{1}+k_{2}a_{2}+...+k_{r}a_{r}$数组$k_{1},k_{2},...,k_{r}$称为向量$x$在基$a_{1},a_{2},...,a_{r}$中的座标。

在$R^3$中取定一个基$a_{1},a_{2},a_{3}$，再取一个新基$b_{1},b_{2},b_{3}$，设$A=(a_{1},a_{2},a_{3})，B=(b_{1},b_{2},b_{3})$，用A表示B的—基变换公式，向量在两个基中座标间关系式—座标变换公式。