高等數學--最後兩章知識點總結

第二型曲線積分

1.直接帶入求解：
例如求解：$\int{ydx}+{xdy}$，L爲圓周x=Rcos t,y=Rsin t 上從0到$\pi$/2
我們直接帶入求解：
$\int{Rsin td(Rcos t)}+{Rcostd(Rsint)}$
我們就能把dx dy的積分換爲dt
就是R²$\int{( -sin^2 t+cos^2t)dt}$
帶入即可得到答案:

2.閉合曲線求解：
格林公式：$\oint$Pdx+Qdy=$\iint$($\partial$Q/$\partial$x -$\partial$P/$\partial$y)
（逆時針爲正向，順時針爲逆向）
逆向取-
題型1：直接讓你求閉合曲線，直接套公式不講了。
題型2：不封閉，需要補線的題目。
$\int{(x^2 - 2y)dx}+{(3x+ye^y)dy}$ 由直線x+y=1位於第一象限的線段以及圓弧x²+ y² = 1 位於第二象限的部分組成
我們把圖像畫出來後可以發現兩條線段不閉合，我們補一條線就可以了，最後答案就是我們補線後的封閉圖形再減去補過的那條線即可。
(小技巧，一般題目求出來的二重積分裏面是一個常數，答案就是常數*(封閉空間面積))
比如這題的封閉曲線的二重積分爲$\iint$ 5dxdy 我們用5*($\pi$/4+1/2)
最後再減去補的那條線最後答案爲5$\pi$/4 + 11/6

題型3：路徑無關
當$\partial$Q/$\partial$x ==$\partial$P/$\partial$y時路徑無關成立
其實我們可以發現路徑無關就是格林公式的一個特殊情況
路徑無關成立後我們可以將折線的距離直接轉化爲直線。
比如L=AB->BC 路徑無關後我們直接求AC

第二型曲面積分

1.直接帶入求值：
三個參數，消元的原則就是求dxdy消z，dydz消x，dxdz消y。
如果時有dxdy+dydz+dxdz的情況就把他們拆開算。
然後就是取正負號還有取零的原則。。。。
大家直接背書上的前正後負，上正下負，右正左負也行。（有機率翻車）

給大家一個不會出錯的不易理解，但較爲好理解的方法（學渣，大佬請跳過）

消x時 我們從x軸出發向原點看去，如果看到的是一個面則取正
如果什麼也看不見則取負
如果只能看見一個曲線那麼取0
以此類推
如例題：
$\iint$ydzdx+xdxdy S爲圓柱面x²+y²=1的前半個圓柱介於平面z=0及z=3之間的部分，取後側。
我們先把圖畫出來。
然後分離。
$\iint$ydzdx+$\iint$xdxdy
後面這項，我們從z軸向原點望去發現是一個曲線所以直接把它幹掉.
$\iint$ydzdx 消y，
我們從y軸望去，一個看得見，一個看不見，分別求就可以了。
答案是-3/2 * $\pi$

2.高斯公式：
和格林一樣，高斯也可能要考慮補面，但一般不喜歡考補面，我們知道閉合曲面就可以了。如果真的考了，再按格林的思想算一下就行了，就不講了。
$\oiint$Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=$\iiint$($\partial$Q/$\partial$y +$\partial$P/$\partial$x+$\partial$R/$\partial$z)
看見閉合曲面直接套公式就可以了。
同理發現三重積分裏面是常數直接求體積。

場論

直接背公式：
散度：divA=$\partial$P/$\partial$x+$\partial$Q/$\partial$y+$\partial$R/$\partial$z
旋度：$\begin{matrix} i & j & k \\ \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z \\ P & Q & R \\ \end{matrix}$
答案是rot A=($\partial$R/$\partial$y-$\partial$Q/$\partial$z)i+($\partial$P/$\partial$z-$\partial$R/$\partial$x)j+($\partial$Q/$\partial$x-$\partial$P$\partial$y)k

旋度的答案是一個向量，散度的答案是一個值

//由於蒟蒻markdow不熟，求和公式沒有給出範圍,求和公式一般都是0->無窮大，當n取不到0時（分母n）n從1開始

判斷級數的斂散性

1 正向級數
判斷級數的斂散性：
lim$\sum {u}$
根據斂散程度判斷分爲以下幾步：1->2->3

1. $\lim_{n\rightarrow+\infty} u$如果不爲0,則發散（發散程度較高），如果爲0進一步判斷。
2. 考慮用比值法還是根值法，能開n次根號的用根值法，不能的用比值法。結果>1發散，<1收斂，=1繼續判斷。
3. 比較判別法
   小技巧1，看見等價無窮小，就直接找等價無窮小比。
   小技巧2，我們一般要背兩個級數的特性，跟它們去比。
   級數1.等比數列，|q|<1,收斂於a/(1-q) |q|>=1，發散
   級數2.調和級數形如：
   lim$\sum {1/n^p}$ p<=1發散 p>1收斂
   遇到題目就把題目往這兩個級數上面湊。

2 交錯級數
判斷級數的斂散性：
去掉（-1）ⁿ項

1. 先判斷$\lim_{n\rightarrow+\infty} u$ 是否等於0如果爲不爲0發散，如果爲0繼續判斷
2. 再判斷Un+1<=Un 即Un越來越小則收斂，反之則發散。

3 判斷絕對收斂/條件收斂
正向級數：
若級數發散，則發散，若級數收斂，則絕對收斂。
交錯級數：
若級數發散，則發散。
若級數收斂，則去掉（-1）ⁿ項變爲正向級數進一步判斷
如果正向級數收斂，爲絕對收斂
如果正向級數發散，爲條件收斂

冪級數

（別被泰勒，歐拉，傅里葉這些神仙嚇到，老老實實背公式即可）

1 已知冪級數在某點收斂/發散，判斷其在另一點的斂散性。
若級數
$\sum {a_n(x+b)^n}$在x=$x_0$($x_0$!=0)時收斂，則當|x+b|<|$x_0$+b|時絕對收斂
若級數
$\sum {a_n(x+b)^n}$在x=$x_0$($x_0$!=0)時發散，則當|x+b|>|$x_0$+b|時發散
意思就是一個點發散，比他大的點也發散。
一個點收斂比他小的點也收斂。

2 求冪級數的收斂域和收斂區間
區域1: |$\lim_{n\rightarrow+\infty} u_n+_1/u_n$ |<1的區域
區域2:|$\lim_{n\rightarrow+\infty} u_n+_1/u_n$ |=1，帶入原級數收斂的值
算出x值帶入原級數看收不收斂，若收斂則加入區域1，否則不加。

收斂域就是兩個區域相加

3 收斂半徑：
其實就是將|$\lim_{n\rightarrow+\infty} u_n+_1/u_n$ |<1
轉化爲|x+$?_1$|<$?_2$
$?_2$就是收斂半徑，非常簡單就不細講了。
注意x前面的係數和次數都要轉化爲1

4 求冪級數在收斂域內的和函數
若$u_n$項中的n被除在下面形如$\sum {x^n/n}$用這個公式：
令$v_n=u'_n$,s(x)=C+$\int\frac{v_1}{1-\frac{v_{n+1}}{v_n}}$ //v1是指值第一項,C可以令s(x=0)=0求得
若$u_n$項中的n被除在下面形如$\sum {n*x^n}$用這個公式：
令$v_n=\int u_n$,s(x)=$(\frac{v_1}{1-\frac{v_{n+1}}{v_n}})'$ //v1是指值第一項
//記住如果出題老師賊，求導或者積分求不出想要的$v_n$（$v_n$中沒有n被乘或除），就想辦法湊，這個就各憑本事了。

5.冪級數展開(泰勒公式)：

公式	條件
$e^a=\sum {\frac{1}{n!}}a^n$	無
$sina=\sum {\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}}a^{2k+1}$	無
$cosa=\sum {\frac{(-1)^k}{(2k)!}}a^{2k}$	無
$ln(a+1)=\sum {\frac{(-1)^{n-1}}{(2k)!}}a^{2k}$	-1<a<=1
$\frac{1}{1+a}=\sum（-1）^n*a^n$	${\|a\|<1}$ a裏面是絕對值,不要在意
$\frac{1}{1-a}=\sum a^n$	${\|a\|<1}$ a裏面是絕對值,不要在意

記住上列公式，一般題型：
將$sinx$展開成$x-\frac{\pi}{4}$:
第一步設a=$x-\frac{\pi}{4}$
第二步帶公式
第三步把a替換爲x
搞定
我們給大家做一遍:
設a=$x-\frac{\pi}{4},x=a+\frac{\pi}{4}$
代入得 $sin(a+\frac{\pi}{4})$
拆解：$\frac{\sqrt{2}}{2}sina+\frac{\sqrt{2}}{2}cosa$
我們知道sina和cosa的公式：
$sina=\sum {\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}}a^{2k+1}$
$cosa=\sum {\frac{(-1)^k}{(2k)!}}a^{2k}$
相加得
sin(a+$\frac{\pi}{4}$)=$\frac{\sqrt{2}}{2}$($\sum {\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}}a^{2k+1}$+$\sum {\frac{(-1)^k}{(2k)!}}a^{2k}$)
最後我們把x換回去
sin(x)=$\frac{\sqrt{2}}{2}$($\sum {\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}}(x-\frac{\pi}{4})^{2k+1}$+$\sum {\frac{(-1)^k}{(2k)!}}(x-\frac{\pi}{4})^{2k}$)
考試的時候寫成這樣就可以滿意了
強迫症就再合併一下
蒟蒻我就不合並了太煩了

6 傅里葉級數(個人認爲最難的)
題型1. 將下列週期爲2$\pi$的函數f(x)展開成傅里葉級數，其中f(x)展開成傅里葉級數，其中f(x)在$[-\pi,\pi]$上的表達式:
如題：設f(x)是以$2\pi$爲週期的週期函數，它在區間$[-\pi,\pi]$上的表達式爲
f(x)=-1 $(-\pi,0]$
=$x^2 (0,\pi]$
試寫出f(x)在$[-\pi,\pi]$上傅里葉級數的和函數S(x)
記住幾個求這題的性質：

1. x爲連續點時，級數收斂於f(x);
2. 當x爲間斷點時，級數收斂於（左極限+右極限）/2，特別的，x=±$\pi$，極限收斂於$(f(\pi)+f(\pi))/2$
   我們給大家做一下這題：
   先寫x=±$\pi$，代入就可以了
   S(x)= $\frac{\pi^2-1}{2}$
   再寫x=$(-\pi,0)$ $(0,\pi)$，收斂於f（x），該寫多少就寫多少，照抄下來。
   分別時
   S(x)=-1
   S(x)=x²
   最後x=0時
   求得（-1+0）/2= -1/2
   最後整合答案即可

題型2.f(x)是週期爲$2\pi$的週期函數，它在$[-\pi,\pi)$
f(x)= x [$\pi,0$)
0 [0,$\pi$)
把f(x)展開成傅里葉級數。
我們記一下這幾個公式：
$a_0=\frac{1}{\pi}\int ^\pi_{-\pi} f(x){\rm d}x$
$a_n=\frac{1}{\pi}\int ^\pi_{-\pi} f(x)cos{nx} {\rm d}x$
$b_n=\frac{1}{\pi}\int ^\pi_{-\pi} f(x)sin{nx} {\rm d}x$
f(x)=$a_0/2 + \sum(a_ncos(nx)+b_nsin(nx))$

把$a_0,a_n,b_n$都求出來帶入f（x），我們即可得到答案。