1.整數規劃
在上一篇博文中，我爲大家介紹了線性規劃方法的一些相關內容，以及使用MATLAB軟件來求解線性規劃問題。
那麼，在這篇博文中，我爲大家介紹另一種重要的規劃問題——整數規劃！！！
首先，我們來看下面這樣一個汽車生產計劃的例子。👇👇👇
在這個問題中，我們可以參照之前線性規劃（LP）問題的求解思路，來進行一個大致的計算求解。
我們設每月生產小、中、大型汽車的數量分別是 x1、x2、x3！！！
1.1 先來求解問題1：制定月生產計劃，使工廠的利潤最大，那麼所建立的數學模型如下：
max z = 2x1 + 3x2 + 4x3
s.t. 1.5x1 + 3x2 + 5x3 ≤ 600
280x1 + 250x2 + 400x3 ≤ 60000
x1,x2,x3 ≥ 0
我們把以上建立的數學模型在MATLAB軟件中，輸入相應的命令求解，因爲這裏要求的是利潤的最大值max，所以需要在目標函數的兩端同乘以-1，並且對最終的結果乘以-1，即得到了下圖的結果：👇👇👇
>> c=[2 3 4];
>> A=[1.5 3 5
280 250 400];
>> b=[600;60000];
>> Aeq=[];
>> beq=[];
>> VLB=zeros(3,1);
>> VUB=[];
>> [x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)
我們觀察一下這個結果，發現全部都是小數，但是根據常識，生產多少輛汽車，這個數值肯定是一個整數啊，小數顯然不符合我們日常生活中的這個思路。那麼，我們應該怎麼辦呢？
答案其實很簡單，我們在上面那段代碼中，增加並修改一小部分內容就可以了，程序代碼和計算結果如下：👇👇👇
>> c=[-2 -3 -4]; %目標函數的係數矩陣
>> intcon=[1,2,3]; %整數約束變量的位置，這裏有三個，所以就是[1,2,3]
>> A=[1.5 3 5
280 250 400]; %不等式約束的係數矩陣
>> b=[600;60000]; %不等書約束的常數項
>> Aeq=[]; %無等式約束，係數矩陣定義爲空
>> beq=[]; %無等式約束，常數項定義爲空
>> VLB=zeros(3,1); %生成一個3行1列的全部值爲0的矩陣，表示決策變量的下界≥0
>> VUB=[]; %決策變量無上界，定義爲空
>> [x,fval]=intlinprog(c,intcon,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB) %使用intlinprog(...)求整數規劃問題
對於上圖這個計算結果，我們可以看到全部都變成了整數，它表示生產小型汽車64輛、中型汽車168輛、大型汽車不生產，在此背景下，獲取到的最大利潤爲632萬元。
1.2 再來求解問題2：如果生產某一類型汽車，則至少要生產80輛，最優的生產計劃是什麼？
這裏，目標函數並沒有發生改變，仍然是求最大生產利潤，只是約束條件中多了一點，至少生產80輛，也就是說，無論小中大型的汽車，你要麼一輛都不生產，要麼生產了，就要多於80輛。所以對應的數學模型可以改寫爲：👇👇👇
max z = 2x1 + 3x2 + 4x3
s.t. 1.5x1 + 3x2 + 5x3 ≤ 600
280x1 + 250x2 + 400x3 ≤ 60000
x1,x2,x3 = 0 或 ≥ 80
我們都知道，三種類型的汽車數量x1、x2、x3，進行全排列共有3！=8種情況。
第三種情況代入數據之後，顯然不符合約束條件中的第一個，故排除。
第七種情況，代入數據之後，顯然不符合約束條件中的前兩個，故排除。
最後一種情況，雖然滿足前三個約束條件，但是工廠要利潤最大，你一輛汽車都不生產，何來利潤呢？所以也將其排除。
那麼，就剩下了五種情況。我們依次代入計算，可以得到第五種情況，可以獲得最大利潤，具體代碼和結果如下：👇👇👇
>> c=[-2 -3 -4];
>> intcon=[1,2,3]; %對應決策變量的位置
>> A=[1.5 3 5
280 250 400];
>> b=[600;60000];
>> Aeq=[];
>> beq=[];
>> VLB=[80;80;0]; %表示x1、x2的下界爲80，x3的下界爲0
>> VUB=[]; %三個決策變量無上界約束，定義爲空
>> [x,fval]=intlinprog(c,intcon,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)
這個結果表示：在工廠要求：如果生產某一類型汽車，則至少要生產80輛的情況下，我們選擇生產80輛小型汽車、150輛中型汽車、不生產大型汽車，即可獲得最大生產利潤爲610萬元！！！
當然，對於這個問題，我們也可以採用引入0-1變量來求解，具體的就不詳細說了，附上一張圖供大家理解：👇👇👇
2.整數規劃問題求解的基本思想
對於分支定界法，是整數規劃問題中的一個十分重要的方法，我們來看下面這樣一個例子：👇👇👇
我們拋開“且爲整數”這個約束條件，首先使用線性規劃的思想來求解，具體的MATLAB命令和運行結果如下：👇👇👇
>> c=[-40 -90];
>> A=[9 7
7 20];
>> b=[56;70];
>> Aeq=[];
>> beq=[];
>> VLB=zeros(2,1);
>> VUB=[];
>> [x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)
對於上圖的計算結果，我們對其進行分支定界的過程如下：👇👇👇
紅色框中所得結果即爲目標函數的最大值，對於這道題，我們主要是爲大家介紹一下分支定界法的思想和應用，也可以直接使用整數規劃（ intlinprog(...) ）的方法來解決。
3.0-1整數規劃
對於左邊的等式約束：x11+x12+x13+x14=1，因爲這四個人各有能力去完成四項任務中的任一項，也就是說甲去完成任務A了話，此時就無法去完成後面三個任務，即x11=1、x12=0、x13=0、x14=0，所以它們相加之和等於1。後面的等式類似。
對於右邊的等式約束：x11+x21+x31+x41=1，因爲每一項任務必須要有一個人來完成，也就是說如果甲去完成任務A，那麼，乙、丙、丁就沒必要再來完成任務A了，因爲它已經被甲完成了，即x11=1、x21=0、x31=0、x41=0，所以它們之和等於1。後面的等式類似。
故我們可以建立如下的數學模型：👇👇👇
0-1整數規劃問題還有很多，在這裏就不一一列舉了，它的主要思想就是上面圖片中所闡述的，大家可以仔細理解一下。
那麼，以上就是我總結的有關數學建模中整數規劃方法的相關內容，以及使用MATLAB軟件來求解部分整數規劃問題，希望對大家學習數學建模有所幫助！！！ 😁😁😁