LOJ#6511. 「雅禮集訓 2018 Day8」B【線性規劃對偶問題，費用流】

題目描述：

題目分析：

求最大費用可行流即可。路徑的長度指路徑上的$t_i$之和。

對偶理論：
變量非負，約束不等式同號，下面這張圖截自百度百科對偶理論

LOJ上有不二分的做法，8是太懂。。雖然上面這個做法也很玄學

Upd：更好的理解體驗請閱讀 2016國家集訓隊論文《淺談線性規劃與對偶問題》

Code：

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 125
#define maxm 1505
using namespace std;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int n,m,W,S,T;
int fir[maxn],nxt[maxm],to[maxm],c[maxm],w[maxm],tot=1;
void line(int x,int y,int z,int v){
	nxt[++tot]=fir[x],fir[x]=tot,to[tot]=y,c[tot]=z,w[tot]=v;
	nxt[++tot]=fir[y],fir[y]=tot,to[tot]=x,c[tot]=0,w[tot]=-v;
}
int X[405],Y[405],sum,t[maxn],C[maxn];
int dis[maxn],pp[maxn],pe[maxn];
queue<int>q; bool inq[maxn];
bool SPFA(){
	memset(dis,0x3f,(T+1)<<2); q.push(T),dis[T]=0;
	while(!q.empty()){
		int u=q.front(); q.pop(),inq[u]=0;
		for(int i=fir[u],v;i;i=nxt[i]) if(c[i^1]&&dis[v=to[i]]>dis[u]+w[i^1]){
			dis[v]=dis[u]+w[i^1],pp[v]=u,pe[v]=i^1;
			if(!inq[v]) inq[v]=1,q.push(v);
		}
	}
	return dis[S]<0;
}
bool check(int mid){
	memset(fir,0,(T+1)<<2),tot=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		line(S,i,inf,mid),
		line(i,i+n,C[i],-t[i]),
		line(i,i+n,inf,0),
		line(i+n,T,inf,0);
	for(int i=1;i<=m;i++) line(X[i]+n,Y[i],inf,0);
	int ans=0;
	while(SPFA()){
		int mn=inf;
		for(int x=S;x!=T;x=pp[x]) mn=min(mn,c[pe[x]]);
		ans+=mn*dis[S];
		for(int x=S;x!=T;x=pp[x]) c[pe[x]]-=mn,c[pe[x]^1]+=mn;
	}
	return -ans<=W;
}
int main()
{
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&W);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&t[i]),sum+=t[i];
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&C[i]);
	for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d%d",&X[i],&Y[i]);
	S=0,T=2*n+1;
	int l=0,r=sum,mid;
	while(l<r) check(mid=(l+r)>>1)?(r=mid):(l=mid+1);
	printf("%d\n",l);
}