形式語言與自動機 Part 3.有限自動機

課程名：形式語言與自動機

作者：Lupinus_Linn

許可證：CC-BY-NC-SA 3.0 創作共用-署名-非商業性-相同方式共享

• 署名（英語：Attribution，BY）：您（用戶）可以複製、發行、展覽、表演、放映、廣播或通過信息網絡傳播本作品；您必須按照作者或者許可人指定的方式對作品進行署名。
• 非商業性使用（英語：Noncommercial，NC）：您可以自由複製、散佈、展示及演出本作品；您不得爲商業目的而使用本作品。
• 相同方式共享（英語：Sharealike，SA）：您可以自由複製、散佈、展示及演出本作品；若您改變、轉變或更改本作品，僅在遵守與本作品相同的許可條款下，您才能散佈由本作品產生的派生作品。（參見copyleft。）

引用：

• 本文中部分文字與圖片引用自北京郵電大學計算機學院王柏教授的《形式語言與自動機》課程課件。
• 緒論中的證明方法部分引自清華大學王生原老師課件。
• 部分題目插圖引用自北京郵電大學出版社《形式語言與自動機 第二版》教材。

在此一併表示感謝，並不做商業用途。

本筆記所有內容的傳送門

Part.1緒論, Part.2 語言與文法
Part 3.有限自動機
Part.4 正則語言，2DFA，Mealy&Moore機
Part.5 上下文無關語言與下推自動機(PDA)
Part.6 圖靈機

Part 3.有限自動機

• 具有離散輸入輸出系統的一種數學模型 (可以沒有輸出，比較特殊的也可以沒有輸入).
• 有限的狀態
• 狀態+輸入→狀態轉移
• 每次轉換的後繼狀態都唯一 → DFA，每次轉換的後繼狀態不唯一→NFA

3.1 五要素

• 有限狀態集$Q$
• 有限輸入符號集$T$
• 轉移函數$\delta:Q×T \rarr Q$:
• 一個開始狀態$q_0,q_0\in Q$
• 一個終態集合$F,F\subseteq Q$

3.2 一個DFA的定義

• $M= (Q, T, δ, q0 , F)$
• $Q = \{q0 , q1 , q2 , q3 \}$
• $T = \{0, 1 \}$
• $\delta(q0 ,0) = q2 , \delta(q0 ,1) = q1$
  $\delta(q1 ,0) = q3 , \delta(q1 ,1) = q0$
  $\delta(q2 ,0) = q0 , \delta(q2 ,1) = q3$
  $\delta(q3 ,0) = q1 , \delta(q3 ,1) = q2$
• $q0$
• $F = \{q0 , q3 \}$

3.3 狀態轉移圖

3.4 狀態轉移表

3.5 字符串轉移函數$\delta'$

$\delta' :Q\times T^*\rarr Q$
對於任何$q\in Q$，定義

1. $\delta'(q,\epsilon)=q$。即空串轉移到本狀態。
2. 如果$\omega \in T^*,a\in T$,定義$\delta'(q,\omega a)=\delta(\delta'(q,\omega),a)$。即非空字符串$\omega a|$可以看作是其前長度爲$|\omega|$的前綴$\omega $和長度爲$1$的字符$a$組成。

對於DFA，單個字符使用$\delta$或者$\delta'$進行轉移的結果相同。

3.6 DFA接受的語言

被DFA接收的字符串: 輸入結束後使DFA的狀態到達終 止狀態。否則該字符串不能被DFA接收.

DFA接收的語言: 被DFA接收的字符串的集合.$L(M) = \{ ω | \delta'( q0 , ω) \in F \}$

3.7 格局

• 有限自動機工作過程的瞬時描述，由當前狀態q，待輸入字符串ω構成的二元組(q,ω)表示，稱爲格局。
• 初始格局：（q0, ω)
• 終止格局： (q,ε), q∈F
• 用格局描述的推導序列：（q0,001010）┝ (q2,01010) ┝ (q0,1010) ┝ (q1,010) ┝ (q3,10) ┝ (q2,0) ┝ (q0,ε)
• 格局數量是無限的。
• 有限狀態自動機是無記憶的，其跳轉到的狀態只與當前狀態和輸入的字符有關，和以前輸入的字符無關。

3.8 有限自動機的設計

3.8.1 識別所有由奇數個a和奇數個b組成的字符串

• 不需要記住所看到的整個字符串，只需記住至此所看到 的a、b個數是偶數還是奇數。

3.8.2 識別包含000子串的語言

DFA

NFA

3.8.3 識別字符串代表的數字能被3整除的語言

• 一個十進制數除以3，餘數只能爲0、1、2。將其設計爲狀態。
• 狀態q0表示已讀入的數字和除3餘0
• 狀態q1表示已讀入的數字和除3餘1
• 狀態q2表示已讀入的數字和除3餘2

3.8.4 長度爲1-3 個字符且字母爲首的語言

$DFA$

$\epsilon-NFA$

3.9 NFA的五要素

• NFA是一個五元組,$M=(Q,T,δ,q0,F)$. 其中$δ:Q×T\rarr2^Q$,其餘與DFA相同.
• NFA的一個狀態接受一個字符後轉移到一個狀態集合，DFA僅僅轉移到單個狀態。
• 如果接收一個字符串後NFA進入一個狀態集, 而此集合中包含一個以上F中的狀態, 則稱NFA接收該字符串.

3.10 NFA的字符串轉移函數$\delta '$

$\delta':Q\times T\rarr 2^Q$

1. $\delta'(q,\epsilon)=\{q\}$，不允許空轉移到別的狀態。
2. $\delta'(q,\omega a)=P,P=\{p | \exists r\in \delta'(q,\omega)∧ \delta(r,a)\}$，即先接受$\omega$進行轉移，得到一個集合，然後將該集合內的狀態再接受$a$進行轉移，將所得狀態集並起來。

3.11 NFA接受的語言

• $L(A)=\{\omega | \delta'(q_0,\omega)\cap F\ne \empty\}$
• 即NFA接受字符串後轉移到的狀態集合包含F中的狀態。

3.12 NFA與DFA的等價性

等價性：接受的語言相相同

1. DFA與NFA等價：顯然，因爲DFA⊂NFA
2. NFA於NFA等價：使用子集構造法

3.13 子集構造法

精髓：將NFA的狀態集合看做DFA的單個狀態

方法：設 L 是某個 $NFA\ N = (Q_N, T, \delta_N , q_0 , F_N)$ 的語言, 則 存在一個$DFA\ M =(Q_D, T, \delta_D , \{q0 \}, F_D )$, 滿足$L(M) = L(N) = L$.
其中

• $Q_D=2^{Q_N}=\{R|R\subseteq Q_N\}$，即DFA的狀態集合是NFA的狀態的冪集（可以去掉無用狀態）。
• $\delta_D(R,a)=\cup_{q\in R}\ \delta_N(q,a)$，即DFA的轉移是NFA轉移的並集。
• $F_D=\{R|R\subseteq Q_N ∧ R\cap F_N\ne \empty\}$，即新的DFA的可接受狀態集是包含至少一個NFA可接受狀態的集合的集合。

例子：

3.14 $\epsilon-NFA$的五要素

$\epsilon-NFA$是一個五元組$A=(Q,T,δ,q0,F)$

• 與NFA的區別：$\delta:Q\times(T\cup \{\epsilon\})\rarr 2^Q$，即可以使用空串轉移。

3.15 $\epsilon-CLOSURE$

狀態 q 的ε - 閉包，記爲 ε - CLOSURE 或 ECLOSE ，定義爲從q 經所有的ε路徑可以到達 的狀態（包括q自身）。

即從q開始，經過零次或多次空轉移可以到達的狀態集合。

3.16 $\epsilon-NFA$的字符串轉移函數$\delta'$

$\delta':Q\times (T\times\{\epsilon\}\rarr 2^Q)$

1. $\delta'(q,\epsilon)=\epsilon-CLOSURE(q)$，允許空轉移到一個狀態集合
2. $\delta'(q,\omega a)=\epsilon-CLOSURE(\delta(\delta'(q_0,\omega),a)$，即先按接受$\omega$進行$\delta'$轉移，得到一個集合，然後將該集合內的狀態再接受字符$a$進行轉移，將所得狀態集並起來，再求其空閉包.

3.17 $\epsilon-NFA$與$NFA$的等價性

1. NFA與ε-NFA等價：顯然，因爲NFA⊂ε-NFA
2. $\epsilon-NFA$於NFA等價：消空

3.18 $\epsilon-NFA$的消空

精髓：把$q_x$接受由字符$a$和若干個空串ε能轉移到的所有狀態找出來，視爲$q_x$接受$a$轉移到這些狀態的集合。此時空轉移是冗餘的，可以全部刪掉。

方法：遍歷原$\epsilon-NFA$的非空轉移($q_x$接收字符$a$轉移到某個狀態集合)，做以下操作：（實際上在求$\delta_{\epsilon-NFA}'(q_x,a)$）

1. 求$q_x$的空閉包$\epsilon-CLOSURE(q_x)$。
2. 遍歷$\epsilon-CLOSURE(q_x)$的每個狀態$q_i$，找出$q_i$接收字符$a$（不含空轉移）後所能到達的狀態集合。遍歷完成後，將得到的狀態集合取並集。
3. 尋找取並集後的集合的空閉包，認爲$q_x$接受$a$後直接到達該空閉包代表的集合，刪去所有用到的空轉移。

最後，還要對接受狀態集合進行修改
$F_{NFA}=\begin{cases}\ F_{\epsilon-NFA}\cup \{q_0\},\epsilon-CLOSURE(q_0)\cap F\ne \empty\\F_{\epsilon-NFA},otherwise\end{cases}$

例子：

3.19 自動機的求補

精髓：自動機求補其實是語言求補，有的語言正面設計自動機比較麻煩，可以考慮其補語言後，再對該自動機求補。
方法：對於$L_1$，構造$\bar L$的自動機$M=(Q,T,\delta,q_0,F)$的步驟如下

1. $Q=Q_1\cup \{\gamma\}$，$\gamma$用於使得原先自動機中會被卡住的轉移在求補後被接受。

2. $\delta$:

   1. 繼承已有轉移。
   2. 被卡死的轉移，現在轉到$\gamma$狀態被接受。
   3. $\gamma$狀態接受任何字符都在原地轉圈。

   $\delta_1(q,a)=\delta(q,a)\\ \delta_1(q,a)=\empty\to\delta(q,a)=\gamma\\ \delta(\gamma,T)=\gamma$

3. $F=(Q_1-F_1)\cup \{\gamma\}$。原自動機不被接受的狀態被接收，增加$\gamma$被接受。

例子：$T=\{a,b\}$，L中的任意三個連續符號中最多包含2個a，設計接受它的自動機。
分析：
可以先構造L的補語言$\bar L$的自動機。
$\bar L$的描述是：存在連續的三個字符，其包含大於2個a。
這句話可以轉述爲：存在aaa子串。
$\bar L$的自動機很容易畫出。
（注：區分連續的字符和累積的字符：連續的字符失敗後要回到開始，累積的字符失敗後在原地轉圈。如果是後綴匹配的話，要找到最長後綴匹配的上一個狀態。）
$\bar L$的自動機

再對其求補，得$L$的自動機爲