形式語言與自動機 Part.6 圖靈機

課程名：形式語言與自動機

作者：Lupinus_Linn

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引用：

• 本文中部分文字與圖片引用自北京郵電大學計算機學院王柏教授的《形式語言與自動機》課程課件。
• 緒論中的證明方法部分引自清華大學王生原老師課件。
• 部分題目插圖引用自北京郵電大學出版社《形式語言與自動機 第二版》教材。

在此一併表示感謝，並不做商業用途。

本筆記所有內容的傳送門

Part.1緒論, Part.2 語言與文法
Part 3.有限自動機
Part.4 正則語言，2DFA，Mealy&Moore機
Part.5 上下文無關語言與下推自動機(PDA)
Part.6 圖靈機

Part.6 圖靈機

6.1 基礎

• 性質：
  1. 每個過程都是有窮可描述的。
  2. 過程是離散可執行的。
• 基本模型：
  1. 一個讀寫頭配一個右端無限的紙帶。讀寫頭有狀態，這些狀態屬於有限狀態集$Q$.有一個開始狀態$q_0 ，q_0\in Q$，被接受的狀態集合是$F,F\sube Q$.
  2. 紙帶有單元格(cell)，單元格上書寫帶符(tape symbol)，這些帶符屬於有限帶符號集$\Sigma$.有一個特殊帶符空白符$B$.
  3. 讀寫頭每次從紙帶讀取一個符號，這些符號屬於有限輸入符號集$T$.輸入符號的種類可能比紙帶的符號種類少（$T\sube \Sigma$），最起碼空白符$B$在紙帶上而不在輸入符號集裏（$B\in \Sigma-T$）。
  4. 圖靈機可以根據狀態和輸入字符向左向右移動，並且在紙帶上寫字，這全由轉移函數$\delta:Q\times \Sigma \to Q\times \Sigma \times \{L,R\}$決定。其含義是$\delta(當前狀態，讀入字符)=(下一個狀態，寫下的字符，向左向右移動)$
  5. 由於圖靈機是上下文有關的，所以其格局爲$\omega_1q\omega_2$，描述圖靈機(Turning Machine, TM)的瞬間工作終態。$\omega_1\omega_2$是從左端到右端空白符號爲止的內容。（因爲右端無限長）。
     $\omega_1q\omega_2$表示讀寫頭正在掃描$\omega_2$的最左字符。
     $\omega_2=\epsilon$表示讀寫頭正在掃描空白字符。
     當讀寫頭在最左邊還要求向左時，拒絕移動，仍然停留在最左端。
  6. 圖靈機是狀態接受的。起初有一個字符串在紙帶上，讀寫頭指向最左單元，其實狀態是$q_0$，只要能在工作過程中進入某個接受狀態，則立即停機，認爲接受。
  7. 無法判斷圖靈機$M$在接受某個串$\omega\in T^*$後是否停機，因爲很容易可以寫出死循環。停機問題是不可判定的。被接受的字符串一定會停機，不被接受的就不知道了。

6.2 圖靈機設計實例

6.2.1 $L=\{a^nb^n\}$

• 思路：一一配對，從最左的a開始，每讀取一個a置爲無關字符x，然後到b串裏讀取最左一個b，再把b置爲，在找最左的a，循環往復。凡是在配對中找不到另一個字符的，說明$a\lt b$或者$a\gt b$，就立即停機，不接受。

6.2.2 $L=\{0^n1^n2^n\}$

• 同理，消除一個0就把1和2置爲無用字符。

6.2.3 整數函數計算

• 思路：轉化爲1進制，即把整數$i\ge 0$表示成$0^i$（$i$個0）。
• 如果一個函數有$k$自變量$i_1,i_2,\dots,i_k$，則開始時把整數挨個放置，並且中間用$1$隔開：$0^{i_1}10^{i_2}1\dots10^{i_k}$.
• 如果圖靈機停止（不論狀態是否接受），則帶上的結果$0^m$爲$f(i_1,i_2,\dots,i_k)=m$的計算結果。
• 所有常用的整數算數函數都是全遞歸。

6.2.4 真減法：$m\Theta n=(m>n)?m-n:0$

• 思路：用$0^m10^n$作爲帶子，每讀一個$0^m$最左端的0就置爲B，把$0^n$最左端的0置爲1（不能置空，因爲在11100B中，如果變成了BBBBB，就不知道是否用完了0）。讓再回去找$0^m$的0.如果有在$0^n$找0遇到B，說明 $m\gt n$，則將所有非B的符號全部換成0，這些0有$0^{n-m}$個。