語言及文法筆記

語言及文法筆記

語言的定義與運算

• 字符的有限集合稱爲字母表，記爲T
• 由字母表T中的字符構成的有限序列稱爲字母表T上的字符串
• 設$\omega_1$和$\omega_2$是字母表T上的字符串，$\omega_1=a_1a_2...a_m$$\omega_2=b_1b_2...b_n$則$\omega_1\omega_2=a_1a_2...a_mb_1b_2...b_n$
• $T^*$是字母表T上所有字符串和空串的集合，$T^+$是字母表T上的所有字符串構成的集合，並有$T^+=T^*-{\epsilon}$
• 字母表T上的語言L是$T^*$的子集
• 兩個語言$L_1$和$L_2$的積$L_1$$\cdot$$L_2$,是由$L_1$和$L_2$中字符串的連接所構成的字符串的集合，需要注意$L_1$$\cdot$$L_2$$\neq$$L_2$$\cdot$$L_1$
• 語言L的冪可歸納定義如下：
  $L^0={\epsilon}$$L_n=L\cdot{L^{n-1}},n\ge1$
• 語言L的閉包$L^*$定義爲
  $L^*=\bigcup_{n\ge0}L^n$語言L的正閉包$L^+$定義爲$L^+=\bigcup_{n\ge1}L^n$

文法(Chomsky文法體系)

• 文法G是一個四元組，$G={N,T,P,S}$其中
  (1)$N$ 非終結符的有限集合
  (2)$T$ 終結符的有限集合，且$N$$\bigcap$$T$=$\phi$
  (3)$P$ 形式爲$\alpha$$\rightarrow$$\beta$的生成式有限集合，且$\alpha\in(N\bigcup{T})^+$$\beta\in(N\bigcup{T})^*$且$\alpha$至少含一個非終結符號
  (4)$S$ 起始符，且$S\in{N}$
  其中“$\rightarrow$”含義是可被代替

• 字符串$\alpha$是文法$G$的句型，當且僅當$S\Longrightarrow_{G}^{*}\alpha$且$\alpha\in(N\bigcup{T})^*$$\omega$是$G$的句子，當且僅當$S\Longrightarrow_{G}^{*}\omega$且$\omega\in{T^*}$

文法的分類

0型文法

由定義1定義的不加任何限制的文法
由0型文法產生的語言稱爲無限制性語言

1型文法(上下文有關文法)

生成式的形式爲$\alpha$$\rightarrow$$\beta$，其中$|\alpha|$$\leq$$|\beta|$，且$\alpha$,$\beta$$\in$$(N\bigcup{T})^+$,且$\alpha$至少含有一個非終結符號。
P特點：每個生成式左部字符串長度小於等於右部字符串長度
由1型文法產生的語言稱爲上下文有關語言

2型文法(上下文無關文法)

生成式的形式爲$A$$\rightarrow$$\alpha$,$A$$\in$$N$且$\alpha$$\in$$(N\bigcup{T})^+$
P特點：每個生成式的左部是單個非終結符
由2型文法產生的語言稱爲上下文無關語言
其常見表示形式有
(1) 巴科斯範式(BNF, Backus Normal Form)

例：用BNF表示法描述十進制數的文法的生成式
<十進制數>::=<無符號整數>|<十進制小數>|<無符號整數><十進制小數>
<十進制小數>::=.<無符號整數>
<無符號整數>::=<數字>|<數字><無符號整數>
<數字>::=0|1|2|3|4|5|6|7|8|9

(2) 語法圖

• 每一個語法圖表示一個語法規則
• 圓邊框或圓形框內書寫的是“終結符號”
• 矩形框內所寫的則是“非終結符號”
• 用語法圖定義語法規則的過程類似於“自頂向下，逐步細化”的過程
• 語法圖與流程圖不同，語法圖只規定了語法的內容和次序，與步驟無關

3型文法(正則文法)

右線性文法：生成式的形式爲$A$$\rightarrow$$\omega$$B$或$A$$\rightarrow$$\omega$，$A$，$B$$\in$$N$，$\omega$$\in$$T^*$
左線性文法：生成式的形式爲$A$$\rightarrow$$B$$\omega$或$A$$\rightarrow$$\omega$，$A$，$B$$\in$$N$，$\omega$$\in$$T^*$
由3型文法產生的語言稱爲正則語言

文法之間的關係(若無$A$$\rightarrow$$\omega$，則爲包含關係)

1、2、3型文法都是在0型聞法得前提下所加的限制，所以必然屬於0型文法
1型文法不允許形式爲$A$$\rightarrow$$\omega$的生成式存在，所以具有$A$$\rightarrow$$\omega$生成式的2型文法或3型文法不屬於1型文法
如果2型文法或3型文法沒有$A$$\rightarrow$$\omega$生成式存在，則其屬於1型文法