形式語言與自動機 Part.4 正則語言，2DFA，Mealy&Moore機

課程名：形式語言與自動機

作者：Lupinus_Linn

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引用：

• 本文中部分文字與圖片引用自北京郵電大學計算機學院王柏教授的《形式語言與自動機》課程課件。
• 緒論中的證明方法部分引自清華大學王生原老師課件。
• 部分題目插圖引用自北京郵電大學出版社《形式語言與自動機 第二版》教材。

在此一併表示感謝，並不做商業用途。

本筆記所有內容的傳送門

Part.1緒論, Part.2 語言與文法
Part 3.有限自動機
Part.4 正則語言，2DFA，Mealy&Moore機
Part.5 上下文無關語言與下推自動機(PDA)
Part.6 圖靈機

Part.4 正則語言

4.1 基本概念

• 正則語言：滿足正則語言的判定定理的語言。
• 正則(表達)式：用類似代數表達式的方法表示正則語言。
• 正則式的相等：表示的語言相同。
• 正則集：滿足正則式的字符串的集合。
• 正則式和語言的的聯合運算+，連接運算•，正閉包$L^+$，星閉包$L^*$及運算性質。

注1：正則集是T* 的子集。(即正則集是T*上的語言)
注2：L+包含ε當且僅當L包含ε。
注3：每個正則集至少對應一個正則式（可有無窮多 個正則式）

4.2 右線性文法↔正則表達式

兩個等價

1. 左線性文法和右線性文法等價。
2. 右線性文法和正則式等價（右線性文法產生的語言都是正則語言，正則語言都可以用右線性文法產生）
   從右線性文法導出正則式：設$x\rarr \alpha x+\beta,\alpha \in T^*,x\in N,then\ x=\alpha^*\beta$。不斷代入消元，最後得出$S= <RE>$

4.3 正則語言可以表示爲有限自動機、正則表達式和右線性文法

三者兩兩等價，都表示正則語言

例子：

G=（{S，A}，{0，1}，P ，S）其中P：S—>1A，A—> 0A |1S|0

1. 文法轉正則式：解方程
   $A\to 0A|1S|0,即A\to 0A|11A|0，解得A=(0+11)^*0，得S=1(0+11)^*0$

2. 正則式轉文法：按照運算順序，按基本運算還原。
   $1,(0+11)^*,0$是依次連接的，對應文法的連接，則$S\to 1A0,A\to (0+11)^*$
   閉包運算的文法是$A\to aA|\epsilon$，所以$A\to 0A|11A|\epsilon$

3. 文法轉自動機：生成一個喫一個，生成終結符串的，轉移到一個新增的接受狀態。
   因爲mermaid語法的限制，用方形框表示接受。
   $S\to 1A$，則狀態$q_S$用字符$1$轉移到狀態$q_A$，其他以此類推。
   $A$可以推出終結符串$0$，則$q_A$通過$0$轉移到新的接受狀態$q_H$

4. 自動機轉文法：每一個轉移，對應一個產生式。轉移到接受狀態的，額外增加推出終結符串。
   $q_S$接受$1$轉移到$q_A$，所以文法有產生式$q_S\to 1q_A$，其他以此類推。
   最後可能要做三消（消單消空消遞歸）。
   $q_S\to 1q_A\\ q_A\to 1q_S\\ q_A\to 0q_A\\ q_A\to \bold{0q_H|0}$

5. 自動機轉正則式：狀態消去法
   要消去狀態$q_A$，入射$q_A$的有$\{q_S\}$，出射$q_A$的有$\{q_H,q_S\}$，所以對$q_S$到$q_H$，$q_S$到$q_S $有影響。

   此時已經是基本結構，一舉寫出
   $S=(10^*1)^*10^*0$

6. 正則式轉自動機：按照運算順序，按基本運算還原。
   用$S=1(0+11)^*0$來還原，5.裏那個比較複雜。
   $1,(0+11)^*,0$是依次連接的，對應自動機某一些狀態區域的空轉移。
   空閉包的結構是，要麼空轉移，要麼在原地轉圈後轉移。
   0+11的結構是，兩條並行線。
   11結構是，順序執行。

4.4 有限自動機→正則表達式：狀態消去法

精髓：將正則表達式作爲轉移弧的標記。不斷刪去狀態，刪去狀態時將其前驅和後繼的轉移弧標記修改。刪到基本結構時寫出最終表達式。

刪除方法：

基本結構：

對於$q\in F$

1. $q\ne q_0$，則正則表達式爲$(R+SU^*T)^*SU^*$，即觀察從$q_0$到$q$的可能路徑。
   爲到達$q_0$，可以在$q_0$自環轉任意次或者$q_0$和$q$之間反覆橫跳任意次。
   之後要到達$q$，一定會單獨經過一次$S$，然後在$q$又可以自環轉任意次。

2. $q= q_0$，最後可以刪到只剩下一個狀態。正則表達式爲$R^*$.

3. 當有$|F|\gt1$，即有多個狀態被接受時，將到達每個終態的正則表達式加起來。

技巧：刪去的順序不一定，可以先局部再整體。

例子：

• 另有狀態消去法的形式化方法– CONVERT(G)，但其不適合手工操作，略去不表。

4.5 正則表達式→有限自動機

精髓：將正則表達式的匹配過程寫成一個二叉樹，然後中序遍歷，按照幾種基本結構將其畫成自動機。
其實大多數時候是隨手畫。

基礎：

歸納：

4.6 右線性文法→有限自動機

精髓：因爲右線性文法每次會產生一個非終結符合一個終結符，將生成終結符作爲自動機的轉移條件，產生的非終結符作爲下一個狀態。
因爲只產生終結符時應該是接受狀態，但是文法中沒有這個符號，所以就新建一個符號H，讓終結符指向H，H被接受。
爲了不引入空轉移，根據是否能由S推出空串決定S的可接受性。

方法：設右線性文法$G＝（N，T，P，S）$，構造一個與G等
價的有限自動機$NFA\ M＝（Q，T，δ，q_0，F）$，其中： $Q＝N \cup {H}$，$H$爲一個新增加的狀態, $H\notin N$， $q_0＝S$.
$F=\begin{cases}\{H,S\},if\ S\rarr\epsilon \in P\\\{H\}\end{cases}$
$\delta:$
$B\in \delta(A,a)\ if\ A\rarr aB \in P\\H\in \delta(A,a)\ if\ A\rarr a \in P\\\delta(H,a)=\empty$
例子：

4.7 有限自動機→右線性文法

精髓：把$\delta$函數的轉移看成是一個個生成式。

方法：設$NFA\ M＝（Q，T，δ，q_0，F）$，構造一個右線性文法$G＝（N，T，P，S）$，其中$N＝Q$， $S＝q_0$

$P:$
$A\rarr aB\ \in P\ if\ \delta(A,a)=B,\ then\ if\ B\in F,\ add\ A\to a\ to\ P$
例子：

4.8 DFA的最小化：填表算法

• 最小化：對DFA M的極小化是找出一個狀態數比M少的
  DFA M1，使滿足 L(M) = L(M1)。若DFA Ｍ不存在互爲等價狀態及不可達狀態，則稱 DFA Ｍ是最小化的.
• 狀態偶對：兩個狀態的有序二元組稱爲狀態偶對。
• 狀態的等價和可區分：兩者是對立的。對於某一DFA M，如果兩個狀態$q_0,q_1$通過任意的串$\omega$都可以轉移接收狀態（不一定是同一個接收狀態），則兩者等價。反之兩者可區分。
  即：設$DFA\ M = (Q，T，δ，q_0，F)$，若$q_x,q_y\in Q$，對於$\forall \omega\in T^*$，若$(q_x,\omega)┣^*(q_x,\epsilon)\leftrightarrow(q_y,\omega)┣^*(q_y,\epsilon)$，則$q_x,q_y$等價，反之兩者可區分。
• 不可達狀態：即無法從$q_0$輸入任何字符串$\omega$到達的狀態。

4.8.1 刪除不可達狀態

可以減小填表算法的負擔。
從$q_0$開始，迭代尋找(bfs)可以到達的狀態$Q_{可達}$，則$Q-Q_{可達}$即爲不可達狀態，刪除不可達狀態即含有其的轉移條目。

4.8.2 填表算法

精髓：因爲狀態的等價關係是傳遞的，可以通過兩兩判斷等價性來找出所有等價的狀態。又因爲是自反的、對稱的，所以只需要一個$n\times n$表格的下三角部分來記錄，且不需要對角線。
如果沒有理由認爲兩個狀態是可區分的，那麼就認爲他們是等價的。

方法：

1. 基礎：所有的終態和非終態是可區分的。
2. 歸納：如果某兩個狀態$q_x,q_y$可以通過符號$a$轉移到兩個可區分的狀態，那麼他們是可區分的。

例子：

4.8.3 等價狀態的合併

將所有的狀態根據等價性構成一個劃分，將劃分塊用其等價類代替。
用等價類作爲狀態標記構造一個新的DFA，其轉移關係爲：如果原來不同劃分之間至少有一種轉移，那麼這兩個等價類增加一條轉移。
即：設待最小化的DFA爲$DFA\ A = (Q, T, \delta, q_0 , F )$ ，最小化的自動機爲$DFA\ B = (Q_B, T, \delta_B, [q0], F_B )$ , 其中 $Q_B=\{ [q] | q\in Q\}$, $\delta_B([q] ,a)=[\delta(q,a)]\}$，$F_B = \{ [q] | q\in F\}$

4.8.4 例子

4.9 正則語言的泵引理

精髓：因爲正則語言對應的是有限自動機，其狀態數是有限的，那麼由Pigeonhole Rule，對於無限的語言（有限語言可以通過“並”構成正則語言），如果其爲正則語言，那麼一定會在自動機的某一段繞圈來達到無限。

泵引理：正則語言中足夠長的句子一定能拆成三段，並且中間一段重複0次或任意多次得到的句子仍然屬於正則語言（可以Pumping in和Pumping out）。泵引理成立是正則語言的一個必要條件。

用泵引理來證明某語言不是正則語言

證明步驟

1. 選任意的n.
2. 找到一個滿足以下條件的串$w\in L$ (長度至少爲n).
3. 任選滿足$w = xyz ∧ y\ne \epsilon ∧ |xy| \le n$ 的$x,y,z$
4. 找到一個 $k\ge0$, 使 $xy^kz \ne L$.

例子：利用泵引理證明下述語言不是正則語言：
$L=\{1^{n^2}|n\ge 0\}$
答：

1. 假設$L$是正則語言。
2. 那麼，存在$N\in Z^+$，對於$\forall \omega\in L(|\omega|\ge N)$滿足泵引理。
3. 取$\omega = 1^{N^2}$，顯然$\omega \in L$且$|\omega|=N^2\ge N$。
4. 那麼，$\omega$可以被分爲$\omega =xyz$，且$|xy|\le N,|y| \gt 0$.
5. 那麼，$y$只能是$1^m(m\gt 0)$,$x$爲$1^l(l\ge 0)$，$z$爲$1^{N^2-l-m}$，且滿足$m+l\le N$。
6. 那麼$xy^2z=1^l1^{2m}1^{N^2-l-m}=1^{N^2+m}$。
7. 因爲$m\gt 0$所以$N^2+m\gt N^2$；因爲$m+l\le N$且$l\ge 0$，得$m\le N$，所以$N^2+m\le N^2+N\lt N^2+2N+1=(N+1)^2$，所以$N^2\lt N^2+m\lt (N+1)^2$，即新串的長度嚴格位於兩個完全平方數之間，所以其不是完全平方數。
8. 則$xy^2z\notin L$，而由泵引理$xy^2z\in L$，所以假設不成立，$L$不是正則語言。

例子：由文法$G$產生的語言$L(G)$，其中$P:S\to aSbS|c$.
語言的描述有很多種，用類似$a^nb^n$的公式化描述的只有一部分。還有用敘述性描述（比如a和b的數量一樣多）和文法描述的（本題）。這些描述有時候很難寫出完全等價的公式化描述，其實只需要其中的一個句子即可。

1. 假設L是正則語言，則存在正整數N，對於任意L內的字符串$\omega$成立$|\omega|\ge N$時，可以應用泵引理。
2. 對於L，不妨取$\omega=a^Nc(bc)^N=\omega_1\omega_0\omega_2$，則$|\omega_0|\gt 0,|\omega_1\omega_0|\le N$，顯然$\omega_0=a^i(i\gt 0)$。
3. 則對於$\omega'=\omega_1\omega_0^2\omega_2=a^{N+i}c(bc)^N$，其不屬於$L$（注意是文法那個L，不是取的句子），而與泵引理矛盾，所以L不是正則語言。

4.10 雙向有限自動機(2DFA)

雙向有限自動機：讀入一個字符之後，讀頭既可以左移一格， 也可以右移一格，或者不移動的有限自動機。

確定的雙向有限自動機: 每讀入一字符，必須向左或右移動，不考慮不移動的情況.

4.10.1 2DFA的五要素

$2DFA\ M＝(Q，T ，δ， q_0， F)$

$\delta:Q\times T\rarr Q\times\{L,R\}$
$\delta(q,a)=(p,R)\ or\ \delta(q,a)=(p,L)$
其他與DFA相同。即每次除了狀態轉移之外還要移動讀頭（左移或右移一格）。

4.10.2 2DFA的格局

• 2DFA的格局和DFA的不同，要把字符串整個列出來。

• $δ(q，a_{m+1})=(p，R)$的格局表示：$a_1 a_2…a_m q a_{m+1}…a_n┣ a_1 a_2…a_{m+1} p a+{m+2}…a_n$

• $δ(q，a_{m+1})=(p，L)$的格局表示: $a_1 a_2…a_m q a_{m+1}…a_n┣ a_1 a_2…a_{m-1} p a_m a_{m+1}…a_n$

4.10.3 2DFA接受的語言

• 2DFA接受的語言是$L(M)=\{ω| q_ω┣^*_ωq，q\in F\}$

4.11 有輸出的有限自動機(Mealy&Moore)

有輸出的有限自動機是有限自動機的一個類型.
這類自動機在有字符輸入時，不僅存在狀態轉換， 同時引起字符輸出.

根據輸入字符，自動機狀態，輸出字符三者之 間關係，可有兩類有輸出的自動機:

米蘭機(Mealy): 輸出字符與輸入字符及狀態有關.
摩爾機(Moore): 輸出字符僅與狀態有關.

最大優點: 節省狀態

4.11.1 Mealy機

• $M＝(Q，T ，R，δ， g ， q_0)$
  相比DFA，多了輸出函數$g:Q\times T\rarr R$
  $\delta$和$g$函數共同描述Mealy機的工作情況。

• 繪圖：
  $\begin{cases}\delta(p,a)=q\\g(p,a)=b\end{cases}$
  繪製爲

• 例子：
  
  

4.11.2 Moore機

• $M＝(Q，T ，R，δ， g ， q_0)$
  相比DFA，多了轉移函數$g$
  相比Mealy機，Moore機的轉移函數$g$是個一元函數，只與當前狀態有關。

• 繪圖：
  $\begin{cases}\delta(p,a)=q\\g(p)=b_1\\g(q)=b_2\end{cases}$
  繪製爲

  因爲輸出只與狀態有關，所以把輸出寫在狀態圈裏。

• 例子：

4.11.3 Moore機→Mealy機

• Moore機比較簡單，所以轉換成Mealy機很方便。
• 將Moore機中某個狀態$q$的輸出$b$，作爲新的Mealy機任何到達$q$狀態的轉移時的輸出。
  即：設摩爾機$M＝(Q, T, R,δ, g ,q_0)$ 米蘭機$M’＝(Q, T, R,δ, g’, q_0)$ 如果$中$有$δ(q，a)=p$，$ g§ = b$ 則$M’$中有$g’(q，a) = b = g(δ(q，a))$

例子：

4.11.4 不做要求：Mealy機→Moore機

略去不表。