【luogu 3389】高斯消元

我們小學學過二元一次方程組，

很明顯，我們用下面的方程減去上面的方程就能求出，然後再回代第一個方程我們就能求出，高斯消元也是基於這樣的思想。

我們可以將這個寫成增廣矩陣的形式

爲了求出解，我們只有化解爲上三角行列式，怎麼化簡呢可以這樣，可以這樣考慮，對於第 i 行來說，我們用第 i 行下面的每一行減去倍數關係使得第i行下面的每一行的第 i 列都爲0。

先不管係數，我們來看一下過程。

我們取枚舉每一行，然後用每一行下面的行，減去這一行的倍數，就能化簡爲上三角行列式。

接下來怎麼求出方程的解呢，回代。

最後一行只有一個未知數的係數不爲0，一次除法就能得到方程的解了，倒數第二行只有兩個未知數係數不爲0，將最後一行的解帶入倒數第二行，就只剩下一個未知數，一次除法就能得到倒數第二行的解了，依次類推。

爲了提高精度，我們按第i行係數絕對值從大到小進行枚舉。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 100 + 7;
const double eps = 1e-8;
typedef double matrix[maxn][maxn];
int guass_elimination(matrix A, int n) // 高斯消元
{
	int i, j, k, r;
	for(i = 0; i < n; i++) { // 消元
		r = i;
		for(j = i + 1; j < n; j++) if(fabs(A[j][i]) > fabs(A[r][i])) r = j;
		if(fabs(A[r][i]) < eps) return 0;  // 無解
		if(r != i) for(int j = 0; j <= n; j++) swap(A[i][j], A[r][j]);
		for(k = i + 1; k < n; k++) {
			double f = A[k][i] / A[i][i];
			for(j = i; j <= n; j++) A[k][j] -= f * A[i][j];
		}
	}
	for(i = n - 1; i >= 0; i--) {  // 回代
		for(j = i + 1; j < n; j++) {
			A[i][n] -= A[j][n] * A[i][j];
		}
		A[i][n] /= A[i][i];
	}
	return 1; 
}
int main()
{
	int n;
	matrix A;
	while(scanf("%d", &n) == 1) {
		for(int i = 0; i < n; i++) {
			for(int j = 0; j <= n; j++) {
				scanf("%lf", &A[i][j]);
			}
		}
		int flag = guass_elimination(A, n);
		if(flag == 0) printf("No Solution\n");
		else {
			for(int i = 0; i < n; i++) printf("%.2lf\n", A[i][n]);
		}
	}
	return 0;
}