最大強連通圖定義
在有向圖G中，如果兩個頂點間至少存在一條路徑，稱兩個頂點強連通(strongly connected)。如果有向圖G的每兩個頂點都強連通，稱G是一個強連通圖。非強連通圖有向圖的極大強連通子圖，稱爲強連通分量(strongly connected components)。
樸素算法
根據定義我們不難想到， 對同一張圖同時進行正反兩次遍歷， 對兩次的遍歷結果取交集， 這裏得到的便是強連通圖。 在強連通圖中尋找到度數最大的圖即時最大強連通圖。 同時的正反兩次遍歷我們不難發現他的時間複雜度達到了O(N ^ 2 + M)
tarjan算法
算法思想：
用dfs遍歷G中的每個頂點，通dfn[i]表示dfs時達到頂點i的時間，low[i]表示i所能直接或間接達到時間最小的頂點。(實際操作中low[i]不一定最小，但不會影響程序的最終結果)
程序開始時，time初始化爲0，在dfs遍歷到v時，low[v]=dfn[v]=time++，
v入棧（這裏的棧不是dfs的遞歸時系統弄出來的棧）掃描一遍v所能直接達到的頂點k，如果 k沒有被訪問過那麼先dfs遍歷k，low[v]=min(low[v],low[k])；如果k在棧裏，那麼low[v]=min(low[v],dfn[k])(就是這裏使得low[v]不一定最小，但不會影響到這裏的low[v]會小於dfn[v])。掃描完所有的k以後，如果low[v]=dfn[v]時，棧裏v以及v以上的頂點全部出棧，且剛剛出棧的就是一個極大強連通分量。
大致證明過程
1.tarjan算法的基於定理：在任何深度優先搜索中，同一強連通分量內的所有頂點均在同一棵深度優先搜索樹中。也就是說，強連通分量一定是有向圖的某個深搜樹子樹。
2.dfs遍歷時，如果已經遍歷完v所能直接到達的頂點而low[v]=dfn[v]，我們知道v一定能到達棧裏v上面的頂點，這些頂點的low一定小於 自己的dfn，不然就會出棧了，也不會小於dfn[v],不然low [v]一定小於dfn[v],所以棧裏v以其v以上的頂點組成的子圖是一個強連通分量，如果它不是極大強連通分量的話low[v]也一定小於dfn[v]（這裏不再詳細說），所以棧裏v以其v以上的頂點組成的子圖是一個極大強連通分量。
3.因爲dfn保存的是深搜樹的節點編號， 所以棧中下方的點一定可以到達上方， 而low保存的是這個節點向後（棧的下方）指的最大距離， 也就是向後反向邊的最大距離。 我們說到棧中的節點正向可達， 擁有着一條反向邊之後， 這個棧中的這個區間的元素就成了一個環， 變成了任意兩點可達。 也就是我們所說的強連通， 又因爲tarjan算法會遍歷所有的點， 所以這裏的強連通經過不斷取最大之後， 得到的就是最大強連通分量。
時間複雜度
在這裏每個點進一次棧， 每條邊被遍歷一次。 所以總的確定執行次數時n + m。 即O(N + M).
原始模板
void tarjan(int i)
{
int j;
DFN[i]=LOW[i]=++Dindex;
instack[i]=true;
Stap[++Stop]=i;
for (edge *e=V[i];e;e=e->next)
{
j=e->t;
if (!DFN[j])
{
tarjan(j);
if (LOW[j]<LOW[i])
LOW[i]=LOW[j];
}
else if (instack[j] && DFN[j]<LOW[i])
LOW[i]=DFN[j];
}
if (DFN[i]==LOW[i])
{
Bcnt++;
do
{
j=Stap[Stop--];
instack[j]=false;
Belong[j]=Bcnt;
}
while (j!=i);
}
}
void solve()
{
int i;
Stop=Bcnt=Dindex=0;
memset(DFN,0,sizeof(DFN));
for (i=1;i<=N;i++)
if (!DFN[i])
tarjan(i);
}動畫演示
一下內容轉自：https://www.byvoid.com/blog/scc-tarjan/
原始有向連通圖：
從節點1開始DFS，把遍歷到的節點加入棧中。搜索到節點u=6時，DFN[6]=LOW[6]，找到了一個強連通分量。退棧到u=v爲止，{6}爲一個強連通分量。
返回節點5，發現DFN[5]=LOW[5]，退棧後{5}爲一個強連通分量。
返回節點3，繼續搜索到節點4，把4加入堆棧。發現節點4向節點1有後向邊，節點1還在棧中，所以LOW[4]=1。節點6已經出棧，(4,6)是橫叉邊，返回3，(3,4)爲樹枝邊，所以LOW[3]=LOW[4]=1。
繼續回到節點1，最後訪問節點2。訪問邊(2,4)，4還在棧中，所以LOW[2]=DFN[4]=5。返回1後，發現DFN[1]=LOW[1]，把棧中節點全部取出，組成一個連通分量{1,3,4,2}。
至此，算法結束。經過該算法，求出了圖中全部的三個強連通分量{1,3,4,2},{5},{6}。