組合基礎1 組合數 二項式定理 卡特蘭數 生成函數基礎

組合數

$\binom{n}{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$
可用Lucas定理和擴展Lucas計算。同時也是一個$m$次多項式，可用多項式算法計算。

插板數

將$n$個無區別的人分爲$m$個無區別的可空組有$\binom{n+m-1}{n}$種方法。

二項式定理

$(a+b)^n=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}a^ib^{n-i}$
考慮兩種方向。

練習題

求$\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}^2$。

由二項式定理，$(x+1)^{2n}=(x+1)^n(x+1)^n$$\sum_{i=0}^{2n}\binom{2n}{i}x^i=\sum_{j=0}^n\sum_{k=0}^n\binom{n}{j}\binom{n}{k}x^jx^k$
比較兩邊的$n$次項係數可得$\binom{2n}{n}=\sum_{j+k=n}\binom nj\binom nk=\sum_{j+k=n}\binom nj\binom n{n-k}=\sum_{j=0}^n\binom{n}{j}^2$

卡特蘭數

$Cat_n=\binom{2n}{n}-\binom{2n}{n-1}$
$Cat_n=\sum_{i=0}^{n-1}Cat_i\cdot Cat_{n-1-i}$
前幾項爲$1$，$2$，$5$，$14$，$42$，可用於打表。

由第二個式子可用生成函數的方法推得第一式，但我不會。

卡特蘭數等於在非負座標方格圖上從$(0,0)$走到$(n,n)$而不跨越直線$y=x$的方案數，由此可得上式的一種證明方法。答案是總方案數$\binom{2n}{n}$減去不合法的方案數，考慮折線第一次穿越$y=x$的時候，將這之前（含）的折線沿$y=x$翻轉，再將之後的接到上面，發現終點變爲了$(n+1,n-1)$。於是不合法的方案數就是從$(0,0)$到$(n+1,n-1)$且限制第一步往右走的方案數，即$\binom{2n}{n-1}$。

*from http://lanqi.org/skills/10939/

卡特蘭數還等於合法括號序列數、合法出棧序列數、二叉樹數、多邊形三角剖分數等。

生成函數

https://blog.csdn.net/myjs999/article/details/81042100