小麦亩产一千八(kela)

$小麦亩产一千八(kela)$

题目链接：$jzoj\ 3461$

题目

“有了金坷垃，肥料一袋能顶两袋撒，小麦亩产一千八，吸收两米下的氮磷钾……”，话说$HYSBZ（Hengyang\ School\ for\ Boys\ \&\ Zy）$学识渊博孩纸们一讲到粮食，都会想起印度那个著名的故事：国王要在第一个格子里放入一粒小麦，接下来的格子放入前面一个格子的两倍的小麦。这样所需小麦总数是巨大的，哪是不用金坷垃就能完成的任务？不过为了减轻国王的任务，那个下棋获胜的宰相换了一个要求：“我只需要你在棋盘外放一粒小麦，可以将其理解为第 $0$ 个格子，然后你需要在第一个格子里放入 $p$ 粒小麦，之后每一个格子放入前两个格子的小麦数之和的小麦，并且要满足第 $a$ 个格子放 $x$ 粒小麦，第 $b$ 个格子放……”说到这，宰相突然发现自己说的满足第 $a$ 个格子放 $x$ 粒小麦的情况可能不存在……欺君可是大罪啊！国王看到宰相迟迟不说，自己也烦了！我自己来算！于是国王拜托你，让你算出第 $b$ 个格子应该放几粒小麦。当然，就算答案不存在，你也是要告诉国王的。

输入

该题有多组数据，请读到文件末结束。

对于每一组数据仅一行，$3$ 个正整数$a$ , $x$ , $b$ ,分别表示第 $a$ 个格子放了 $x$ 粒小麦，以及你所需要计算的是第 $b$ 个格子的小麦数量。

输出

对于每一次询问，仅 $1$ 个整数，为第 $b$ 个格子的小麦数量，若宰相说的情况不存在，那么请输出$-1$。

样例输入

1 1 2

3 5 4

3 4 6

12 17801 19

样例输出

2

8

-1

516847

样例解释

对于样例二，$f[1]=2$ 时,能够满足$f[3]=5$，因此宰相没有撒谎，此时第 $5$ 个格子的小麦数应为$f[4]=f[2]+f[3]=3+5=8.$

数据范围

对于$50\%$的数据：如果答案存在，那么$p<=50$

对于$100\%$的数据：$1<=$数据组数$<=10000$，$1<=a,b<=20$, 数据保证如果答案存在，那么$1<=p<=1000000.$

思路

这道题其实㐊一道变了形的斐波那切数列。

设$f[i]$为第$i$个格子应该放的数量，那我们简单模拟一下：
$f[0] = 1$
$f[1] = p$
$f[2] = f[0] + f[1] = 1 + p$
$f[3] = f[1] + f[2] = p + (1 + p) = 1 + 2 * p$
$f[4] = f[2] + f[3] = (1 + p) + (1 + 2 * p) = 2 + 3 * p$
$f[5] = f[3] + f[4] = (1 + 2 * p) + (2 + 3 * p) = 3 + 5 * p$
那我们又发现，设$fb[i]$原来的斐波那契数列中的第$i$个，式子为$f[i] = j + k * p$，则$j$其实是$fb[i]$，$k$其实是$fb[i + 1]$，那就可以得到这个：
$f[i] = fb[i] + fb[i + 1] * p\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ①$
简单移一下项，就可以得到这个：
$p = (f[i] - fb[i])\ /\ fb[i + 1]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ②$

那我们就可以先预处理原来的斐波那契数列，然后对于每一组数据，通过$a$与$x$套入公式$②$中求出$p$（如果$p$不是整数则没有解），然后用$p$和$b$代回公式$①$中，就可以求出答案了。

（注意，要用$long\ long$）

代码

#include<cstdio>
#define ll long long

using namespace std;

ll a, x, b, fb[21];

int main() {
	fb[1] = 0;
	fb[2] = fb[3] = 1;//初始化
	for (int i = 4; i <= 21; i++)
		fb[i] = fb[i - 1] + fb[i - 2];//求出原来的斐波那契数列
	
	while (~scanf("%lld %lld %lld", &a, &x, &b)) {//读入
		ll p = (x - fb[a]) / fb[a + 1];//求出p值
		if ((x - fb[a]) % fb[a + 1]) printf("-1\n");//没有解
			else printf("%lld\n", fb[b + 1] * p + fb[b]);//有解直接算出答案
	}
	
	return 0;
}