線性代數學習筆記（一）——二階和三階行列式

本篇筆記從解方程組開始，並引入一種新運算，然後瞭解二階行列式和三階行列式相關定義，如元素、行標、列標、主對角線、次對角線等。同時爲了研究行列式展開項與元素下標之間的關係，還引入了排列、逆序、逆序數、奇排列、偶排列、標準排列、自然排列、N級標準排列以及對換等概念。

1 方程組

$\begin{cases} 5x+6y=7\qquad①\\ 9x+4y=3\qquad②\\ \end{cases}$

將$①×9、②×5$得：
$\begin{cases} 5×9x+6×9y=7×9\qquad③\\ 9×5x+4×5y=3×5\qquad④\\ \end{cases}$

將$③-④$得：
$(5×4-6×9)y=3×5-7×9$

解得：
$y=\frac{3×5-7×9}{5×4-6×9}\qquad⑤$

同理可得：
$x=\frac{7×4-6×3}{5×4-6×9}\qquad⑥$

通過觀察上述$⑤, ⑥$的值可以發現，分子和分母都是四個數分別爲：兩兩先相乘，再相減。

2 定義一種新運算

通過左右兩條豎線，中間放入四個數字，表示對角線上數字先相乘再相減，定義以下運算：
$\begin{vmatrix} a&b\\ c&d\\ \end{vmatrix} =ad-cb$

上述$x, y$可表示爲：
$\begin{cases} x=\frac{7×4-6×3}{5×4-6×9}= \frac{ \begin{vmatrix} 7&3\\ 6&4\\ \end{vmatrix}}{ \begin{vmatrix} 5&9\\ 6&4\\ \end{vmatrix} }\\\\ y=\frac{3×5-7×9}{5×4-6×9}= \frac{ \begin{vmatrix} 3&9\\ 7&5\\ \end{vmatrix}}{ \begin{vmatrix} 5&9\\ 6&4\\ \end{vmatrix} } \end{cases}$

3 二階行列式

二階行列式由4個數寫成2行和2列，並在左右兩邊加上豎線組成。
$\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\\ \end{vmatrix}$

行列式表示一個數，上述二階行列式的值爲：$a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$

元素：每個元素使用$a_{ij}$表示。
行標：$i$爲行標，表示第幾行。
列標：$j$爲列標，表示第幾列。
主對角線：\，從左上角到右下角。
次對角線：/，從左下角到右上角。

舉例：
$\begin{vmatrix} 1&7\\ 9&3\\ \end{vmatrix} =1×3-9×7$

$\begin{vmatrix} m&n\\ a&b\\ \end{vmatrix} =mb-an$

$\begin{vmatrix} \lambda-1&1\\ 2&\lambda\\ \end{vmatrix} =\lambda(\lambda-1)-1×2$

$\begin{vmatrix} 愛&子\\ 輩&你\\ \end{vmatrix} =愛你-輩子$

4 三階行列式

三階行列式也可以由方程組推出。它由9個數寫成3行和3列，並在左右兩邊加上豎線組成。
$\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\\ \end{vmatrix}$

三階行列式也可按照二階行列式的劃線法（對角線展開法）方式求值，其值爲：
$a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}$

總共有6項，其中主對角線方向3項爲正數，次對角線方向3項爲負數。

舉例：
$\begin{vmatrix} \lambda&1&0\\ 1&\lambda&1\\ 0&0&1\\ \end{vmatrix} =\lambda×\lambda×1+1×1×0+1×0×0-0×\lambda×0-1×1×0-0×1×\lambda$

5 一些概念

爲了解理N階行列式，引入以下概念：
排列：由$1, 2, ..., n$組成的一個有序數組叫n級排列。

例如：
$123$
$132$
$213$
$231$
$312$
$321$
以上都是3級排列。

3145不是5級排列，因爲缺少數字2，不滿足有序的條件，所以數組中不能缺數。

n級排列一共有 $n(n-1)(n-2)...3×2×1=n!$ 種。

逆序：比較大的數排在比較小的數前面構成逆序。例如：在排列$4213$中，4排在2前面就構成了逆序。
逆序數：排列中逆序的總數。
例如：
在排列$4213$中，逆序數爲4，具體計算如下：
3（4後面比4小的數的個數）+1（2後面比2小的數的個數）+0（1後面比1小的數的個數）+0（3後面比3小的數的個數）

逆序數使用$N$表示，例如：$N(4213)=4$

奇排列：逆序數爲奇數的排列。
偶排列：逆序數爲偶數的排列。

標準排列：逆序數爲0的排列，也稱爲自然排列。
由n個數構成的逆序數爲0的排列稱爲N級標準排列。例如：$N(123...n)=0$

舉例：
求：$N(54123)$
解：
$=4+3+0+0+0$
$=7$
數逆序數的方法：從第一個數開始，依次數後面有幾個比它小的數，順序不能亂。

求：$N(n(n-1)(n-2)...321)$
解：
$=(n-1)+(n-2)+...+2+1$
$=\frac{n(n-1)}2$

對換：交換排列中的兩個數。

例如：$54\overrightarrow1\overleftarrow23→54213$，

由前面可知：$N(54123)=7$，而交換兩個數後，$N(54213)=4+3+1+0+0=8$

6 定理

定理 1.1.1：一個排列經過一次對換，奇偶性會改變。

一個排列做偶數次對換，其奇偶性不變；一個排列做奇數次對換，其奇偶性改變。

定理 1.1.2：在所有的N級排列中，奇排列和偶排列的數量相等，各佔：$\frac{n!}2$。