摘要
本文圍繞銀行效率評價問題進行討論，建立了秩和比綜合評價模型和TOPSIS模型，再建立評價對比模型，利用灰色預測法驗證銀行效率綜合狀況。
針對問題一，基於熵權法，採用秩和比綜合評價作爲對銀行效率評定的依據。首先得出各項評價銀行效率因素的權重爲[0.10831,0.06931,0.05052,0.07539，0.07138,0.10594,0.07901,0.22921,0.07815,0.05909,0.07423]，然後運用聚類分析對各個銀行進行分檔排序。最終得出14家銀行的分類結果：
若將14家銀行分爲兩類，則中國銀行，工商銀行，建設銀行和農業銀行爲一類，其餘的爲另一類；若將銀行分成3類，可以得到：中國銀行爲一類，工商銀行和農業銀行爲一類，其餘銀行爲一類；若將銀行擴展到4類，可以知道中國銀行和建設銀行爲一類，工商銀行和農業銀行爲一類，交通銀行爲單獨一類，其餘銀行爲一類。
針對問題二，採用TOPSIS模型，將14家銀行分爲高，較高，中等，較差四類評價結果，通過向量規範化獲得加權規範陣，再確定正負理想解，以各方案到正理想解與負理想解的距離對各個銀行進行分檔排序。從而對評價對象做出綜合評價，最終得出14家銀行的評價結果：
效率高的銀行行爲：中國銀行；
效率較高的銀行爲：建設銀行，工商銀行，農業銀行，招商銀行，交通銀行；
效率中等的銀行爲：浦發銀行，中信銀行，民生銀行；
效率較差的銀行爲：華夏銀行，廣發銀行，平安銀行，興業銀行，光大銀行。
針對問題三，首先建立評價對比模型，針對現有的三年的數據進行處理，求解，從各銀行的成本性指標和收益性指標排序進行研究分析，對比排序的變化情況。再結合問題二得到的銀行效率排序結果，發現兩者排序結果相同，即2013年銀行效率綜合狀況比較穩定。
關鍵詞： 聚類分析；秩和比綜合評價模型；TOPSIS模型；熵權法；灰色預測
一、問題重述
銀行作爲我國經濟政策宏觀調控的樞紐，一個完善高效的銀行體系能夠爲我國經濟建設籌集資金，促進社會的再生產。銀行業有效與否不僅直接關係到銀行系統自身的經營和發展，還對整個國家的宏觀經濟的運行有着極其重要的影響。
自07年起，我國銀行系統對外資銀行全面開放，在市場資源，人才資源和產品服務等各方面不斷融入我國金融市場，高效率的外資銀行對我國銀行系統造成巨大沖擊。在如此嚴峻的情況下，只有提高我國商業銀行的整體競爭力才能佔據一席之位。附件中給出我國14家銀行2010至2013年的投入產出數據，建立數學模型回答下面的問題：（1）對文中給出的14家銀行進行分類；（2）建立評價銀行效率的指標體系，並根據附件中的數據評價14家銀行的銀行效率 ；（3）根據評價結果說明我國商業銀行當前的銀行效率狀況。
二、問題分析
2.1問題一的分析
對於問題一，由於不同量綱因素的綜合評判需要進行無量綱化，因此首先對我國14家銀行三年來的投入產出數據進行標準化處理，然後利用熵權法確定不同指標的權重，對11種指標進行聚類分析，最後得出我國14家銀行分類情況。爲進一步精確分類，本文建立秩和比綜合評價模型對銀行效率進行綜合評價分析，最終以銀行效率爲根據進行分類。
2.2問題二的分析
對於問題二，本文以11種投入產出數據爲基礎，應用TOPSIS法，將14家銀行分爲高，較高，中等，較差四類評價結果，通過向量規範化獲得加權規範陣，再確定正負理想解，以各方案到正理想解與負理想解的距離根據，對各個銀行進行分檔排序。從而對14家銀行做出綜合評價，最終得出評價結果。
2.3問題三的分析
對於問題三，首先建立評價對比模型，針對現有的三年的數據進行處理，求解，從各銀行的成本性指標和收益性指標排序進行研究分析，對比排序的變化情況。再結合問題二得到的銀行效率排序結果，發現兩者排序結果相同，即2013年銀行效率綜合狀況比較穩定。最後利用灰色預測求出2013年14家銀行數據情況，進一步驗證銀行效率綜合情況的穩定性。
三、模型假設
- 假設題目所給的數據真實可靠；
- 不考慮商業環境變化的影響；
3．忽視國家政策對數據的影響；
四、定義與符號說明
五、模型的建立與求解
5.1 利用聚類分析對14家銀行進行分類
5.1.1 熵權法計算權重
由於本題因子較多，容易因爲考慮不周全，導致結果大相徑庭，因此本文考慮使用權重來衡量各個變量佔有的一定比例，從而體現出各個因素對結果的影響程度。熵權法是一種客觀賦權方法。在具體使用過程中，熵權法根據各指標的變異程度，利用信息熵計算出各指標的熵權，再通過熵權對各指標的權重進行修正，從而得出較爲客觀的指標權重。爲確保權重的可信度，本文選取熵權法尋求權值。
考慮11種投入產出數據的量綱差異性，本文爲提高模型精度首先對數據進行標準化處理，處理結果如表5-1所示，然後開始利用熵權法計算11種投入產出數據的權重值。
表5-1數據標準化後結果：
計算第j個指標下第i個項目的指標值的比重：
進一步計算第j個指標的熵值和第j個指標的熵權：
最終確定指標的綜合權數：
利用matlab編程運算求解綜合權數得出權重，如圖1所示：
5.1.2 利用聚類分析進行分類
爲得出14家銀行三年的數值體現，本文利用每家銀行每一年的數據求出三年的平均反映值，再對平均反映值的各項數據進行聚類分析，得出分類的樹狀圖。在聚類分析時，本文考慮到不同聚類類別導致的結果意義不同，因此進行了三次聚類分析，得到的結果如圖2所示，
如果將14家銀行分爲兩類，則中國銀行，工商銀行，建設銀行和農業銀行爲一類，其餘的爲另一類。如圖3所示；如果將銀行分成3類，可以得到：中國銀行爲一類，工商銀行和農業銀行爲一類，其餘銀行爲一類。如圖4所示；如果將聚類結果擴展4類，可以知道中國銀行和建設銀行爲一類，工商銀行和農業銀行爲一類，交通銀行爲單獨一類，其餘銀行爲一類。如圖5所示。
根據以上結果結合各大銀行指標可以看出，中國銀行，建設銀行，工商銀行和農業銀行與其他銀行的不同，主要體現在固定資產淨值，員工人數，投資利益上。對於兩類銀行的分類情況，中國銀行，建設銀行，工商銀行和農業銀行都屬於中國的四大商業銀行，很大程度上是因爲在管理體制上，這四大銀行領導層由國務院任免，銀監會負責業務管理。
5.1.3 秩和比評判模型再精確分類
5.1.3.1 編秩
逐一分析三年的銀行數據指標，以14家銀行作爲評價對象，11個數據因素作爲評價指標，建立並排列成一個14行11列的原始數據表，編出每個指標下各評價對象的秩，其中效益型指標從小到大編秩，成本型指標從大到小編秩，得到秩矩陣，如表5-2所示。
5.1.3.2 計算加權秩和比（WRSR）
根據各評價指標的權重不同，計算出加權秩和比（WRSR）：
5.1.3.3 計算迴歸方程並分檔排序
首先按照從小到大的排列方式對RSR頻率分佈表進行編制，然後列出各組頻數，累計頻數和累積頻率，其次將轉換爲概率單位，最後得出和概率結果，如表5-3所示。
基於累積頻率所對應的概率單位和爲自變量，建立直線迴歸方程，
最後，按照迴歸方程推算所對應的RSR估計值對評價對象進行分檔排序，如表5-4所示，
由結果所知，根據14家銀行效率可分四類，依次爲：
①效率高的銀行：中國銀行、建設銀行、工商銀行；
②效率較高的銀行：浦發銀行、中信銀行、招商銀行、交通銀行、農業銀行；
③效率中等的銀行：華夏銀行、興業銀行、光大銀行、民生銀行；
④效率較差的銀行：廣發銀行、平安銀行。
5.2 TOPSIS模型建立評價模型
5.2.1 求解綜合評價指數
銀行業是我國金融服務的重要中介機構和影響國家市場經濟調控的重要行業，其效率[1]不僅指的是銀行內部資源的配置效率和預期收益能力，還應具有反映國民經濟增長情況的宏觀經濟學意義，反映投入要素在生產過程中的利用程度，因此來衡量投入要素佔產出的比重。爲建立評價銀行效率的指標體系，本文建立TOPSIS模型對銀行效率做出綜合評價。
首先對向量進行規範化並構成加權規範陣如下：
根據問題一求解出的權重設置各屬性的權重向量爲
，此時有
然後確定正理想解和負理想解，並計算各方案到正負理想解的歐式距離與相對接近度並得出各方案的排隊指標值。
最後得出綜合評價指數，如圖6和圖7所示。
從圖中可以看出以銀行效率爲依據可以得出優劣次序爲：中國銀行、工商銀行、建設銀行、民生銀行、招商銀行、農業銀行、平安銀行、廣發銀行、中信銀行、光大銀行、浦發銀行、華夏銀行、興業銀行、交通銀行。
5.2.1 評價結果
對綜合評價指數排序，最終得出銀行效率評價結果爲：
①效率高的銀行：中國銀行；
②效率較高的銀行：工商銀行、建設銀行、浦發銀行、中信銀行、招商銀行、交通銀行、農業銀行；
③效率中等的銀行：華夏銀行、興業銀行、光大銀行、民生銀行；
④效率較差的銀行：廣發銀行、平安銀行。
從銀行效率來看，14家銀行的最終評價指數如表5-5所示，
結合問題一得出的排序與最終評價指數的分類情況進行對比，可以發現結果近似。銀行作爲我國金融體系的絕對核心，國家根據宏觀經濟基礎[2]對國有商業銀行：中國銀行，工商銀行，建設銀行等銀行提出深化金融改革，基於所得銀行效率排序情況，
5.3利用灰色預測2013年銀行指標數據
5.3.1 評價對比模型
從問題一和問題二的分類排序結果可以看出，固定資產淨值，員工人數，投資利益是影響我國銀行效率的主要因素，爲評估14家銀行的狀態，首先將11個指標數據按照收益性和成本性進行分類，並建立評價對比模型，如圖8和圖9所示。
從成本效率角度分析，我國銀行的效率排名由低到高分別是中國銀行，工商銀行，建設銀行，農業銀行。基於宏觀經濟基礎[2]及問題一的分類結果可以知道中國銀行，工商銀行，建設銀行，農業銀行屬於國有商業銀行，其餘銀行屬於股份制商業銀行。從收益效率角度分析，我國銀行的效率排名從高到低與成本效率排序正好相反。結合問題二中的排序，基於收益效率和成本效率的綜合評價指數對比，如圖10和圖11所示，可以觀察出不論是國有商業銀行還是股份制銀行的成本和收益效率變化性小，總體穩定，由此判斷出銀行效率狀況穩定。
5.3.2灰色預測
5.3.2.1 數據處理
對第i個銀行三年的數據分別記爲