摘要
本文围绕银行效率评价问题进行讨论，建立了秩和比综合评价模型和TOPSIS模型，再建立评价对比模型，利用灰色预测法验证银行效率综合状况。
针对问题一，基于熵权法，采用秩和比综合评价作为对银行效率评定的依据。首先得出各项评价银行效率因素的权重为[0.10831,0.06931,0.05052,0.07539，0.07138,0.10594,0.07901,0.22921,0.07815,0.05909,0.07423]，然后运用聚类分析对各个银行进行分档排序。最终得出14家银行的分类结果：
若将14家银行分为两类，则中国银行，工商银行，建设银行和农业银行为一类，其余的为另一类；若将银行分成3类，可以得到：中国银行为一类，工商银行和农业银行为一类，其余银行为一类；若将银行扩展到4类，可以知道中国银行和建设银行为一类，工商银行和农业银行为一类，交通银行为单独一类，其余银行为一类。
针对问题二，采用TOPSIS模型，将14家银行分为高，较高，中等，较差四类评价结果，通过向量规范化获得加权规范阵，再确定正负理想解，以各方案到正理想解与负理想解的距离对各个银行进行分档排序。从而对评价对象做出综合评价，最终得出14家银行的评价结果：
效率高的银行行为：中国银行；
效率较高的银行为：建设银行，工商银行，农业银行，招商银行，交通银行；
效率中等的银行为：浦发银行，中信银行，民生银行；
效率较差的银行为：华夏银行，广发银行，平安银行，兴业银行，光大银行。
针对问题三，首先建立评价对比模型，针对现有的三年的数据进行处理，求解，从各银行的成本性指标和收益性指标排序进行研究分析，对比排序的变化情况。再结合问题二得到的银行效率排序结果，发现两者排序结果相同，即2013年银行效率综合状况比较稳定。
关键词： 聚类分析；秩和比综合评价模型；TOPSIS模型；熵权法；灰色预测
一、问题重述
银行作为我国经济政策宏观调控的枢纽，一个完善高效的银行体系能够为我国经济建设筹集资金，促进社会的再生产。银行业有效与否不仅直接关系到银行系统自身的经营和发展，还对整个国家的宏观经济的运行有着极其重要的影响。
自07年起，我国银行系统对外资银行全面开放，在市场资源，人才资源和产品服务等各方面不断融入我国金融市场，高效率的外资银行对我国银行系统造成巨大冲击。在如此严峻的情况下，只有提高我国商业银行的整体竞争力才能占据一席之位。附件中给出我国14家银行2010至2013年的投入产出数据，建立数学模型回答下面的问题：（1）对文中给出的14家银行进行分类；（2）建立评价银行效率的指标体系，并根据附件中的数据评价14家银行的银行效率 ；（3）根据评价结果说明我国商业银行当前的银行效率状况。
二、问题分析
2.1问题一的分析
对于问题一，由于不同量纲因素的综合评判需要进行无量纲化，因此首先对我国14家银行三年来的投入产出数据进行标准化处理，然后利用熵权法确定不同指标的权重，对11种指标进行聚类分析，最后得出我国14家银行分类情况。为进一步精确分类，本文建立秩和比综合评价模型对银行效率进行综合评价分析，最终以银行效率为根据进行分类。
2.2问题二的分析
对于问题二，本文以11种投入产出数据为基础，应用TOPSIS法，将14家银行分为高，较高，中等，较差四类评价结果，通过向量规范化获得加权规范阵，再确定正负理想解，以各方案到正理想解与负理想解的距离根据，对各个银行进行分档排序。从而对14家银行做出综合评价，最终得出评价结果。
2.3问题三的分析
对于问题三，首先建立评价对比模型，针对现有的三年的数据进行处理，求解，从各银行的成本性指标和收益性指标排序进行研究分析，对比排序的变化情况。再结合问题二得到的银行效率排序结果，发现两者排序结果相同，即2013年银行效率综合状况比较稳定。最后利用灰色预测求出2013年14家银行数据情况，进一步验证银行效率综合情况的稳定性。
三、模型假设
- 假设题目所给的数据真实可靠；
- 不考虑商业环境变化的影响；
3．忽视国家政策对数据的影响；
四、定义与符号说明
五、模型的建立与求解
5.1 利用聚类分析对14家银行进行分类
5.1.1 熵权法计算权重
由于本题因子较多，容易因为考虑不周全，导致结果大相径庭，因此本文考虑使用权重来衡量各个变量占有的一定比例，从而体现出各个因素对结果的影响程度。熵权法是一种客观赋权方法。在具体使用过程中，熵权法根据各指标的变异程度，利用信息熵计算出各指标的熵权，再通过熵权对各指标的权重进行修正，从而得出较为客观的指标权重。为确保权重的可信度，本文选取熵权法寻求权值。
考虑11种投入产出数据的量纲差异性，本文为提高模型精度首先对数据进行标准化处理，处理结果如表5-1所示，然后开始利用熵权法计算11种投入产出数据的权重值。
表5-1数据标准化后结果：
计算第j个指标下第i个项目的指标值的比重：
进一步计算第j个指标的熵值和第j个指标的熵权：
最终确定指标的综合权数：
利用matlab编程运算求解综合权数得出权重，如图1所示：
5.1.2 利用聚类分析进行分类
为得出14家银行三年的数值体现，本文利用每家银行每一年的数据求出三年的平均反映值，再对平均反映值的各项数据进行聚类分析，得出分类的树状图。在聚类分析时，本文考虑到不同聚类类别导致的结果意义不同，因此进行了三次聚类分析，得到的结果如图2所示，
如果将14家银行分为两类，则中国银行，工商银行，建设银行和农业银行为一类，其余的为另一类。如图3所示；如果将银行分成3类，可以得到：中国银行为一类，工商银行和农业银行为一类，其余银行为一类。如图4所示；如果将聚类结果扩展4类，可以知道中国银行和建设银行为一类，工商银行和农业银行为一类，交通银行为单独一类，其余银行为一类。如图5所示。
根据以上结果结合各大银行指标可以看出，中国银行，建设银行，工商银行和农业银行与其他银行的不同，主要体现在固定资产净值，员工人数，投资利益上。对于两类银行的分类情况，中国银行，建设银行，工商银行和农业银行都属于中国的四大商业银行，很大程度上是因为在管理体制上，这四大银行领导层由国务院任免，银监会负责业务管理。
5.1.3 秩和比评判模型再精确分类
5.1.3.1 编秩
逐一分析三年的银行数据指标，以14家银行作为评价对象，11个数据因素作为评价指标，建立并排列成一个14行11列的原始数据表，编出每个指标下各评价对象的秩，其中效益型指标从小到大编秩，成本型指标从大到小编秩，得到秩矩阵，如表5-2所示。
5.1.3.2 计算加权秩和比（WRSR）
根据各评价指标的权重不同，计算出加权秩和比（WRSR）：
5.1.3.3 计算回归方程并分档排序
首先按照从小到大的排列方式对RSR频率分布表进行编制，然后列出各组频数，累计频数和累积频率，其次将转换为概率单位，最后得出和概率结果，如表5-3所示。
基于累积频率所对应的概率单位和为自变量，建立直线回归方程，
最后，按照回归方程推算所对应的RSR估计值对评价对象进行分档排序，如表5-4所示，
由结果所知，根据14家银行效率可分四类，依次为：
①效率高的银行：中国银行、建设银行、工商银行；
②效率较高的银行：浦发银行、中信银行、招商银行、交通银行、农业银行；
③效率中等的银行：华夏银行、兴业银行、光大银行、民生银行；
④效率较差的银行：广发银行、平安银行。
5.2 TOPSIS模型建立评价模型
5.2.1 求解综合评价指数
银行业是我国金融服务的重要中介机构和影响国家市场经济调控的重要行业，其效率[1]不仅指的是银行内部资源的配置效率和预期收益能力，还应具有反映国民经济增长情况的宏观经济学意义，反映投入要素在生产过程中的利用程度，因此来衡量投入要素占产出的比重。为建立评价银行效率的指标体系，本文建立TOPSIS模型对银行效率做出综合评价。
首先对向量进行规范化并构成加权规范阵如下：
根据问题一求解出的权重设置各属性的权重向量为
，此时有
然后确定正理想解和负理想解，并计算各方案到正负理想解的欧式距离与相对接近度并得出各方案的排队指标值。
最后得出综合评价指数，如图6和图7所示。
从图中可以看出以银行效率为依据可以得出优劣次序为：中国银行、工商银行、建设银行、民生银行、招商银行、农业银行、平安银行、广发银行、中信银行、光大银行、浦发银行、华夏银行、兴业银行、交通银行。
5.2.1 评价结果
对综合评价指数排序，最终得出银行效率评价结果为：
①效率高的银行：中国银行；
②效率较高的银行：工商银行、建设银行、浦发银行、中信银行、招商银行、交通银行、农业银行；
③效率中等的银行：华夏银行、兴业银行、光大银行、民生银行；
④效率较差的银行：广发银行、平安银行。
从银行效率来看，14家银行的最终评价指数如表5-5所示，
结合问题一得出的排序与最终评价指数的分类情况进行对比，可以发现结果近似。银行作为我国金融体系的绝对核心，国家根据宏观经济基础[2]对国有商业银行：中国银行，工商银行，建设银行等银行提出深化金融改革，基于所得银行效率排序情况，
5.3利用灰色预测2013年银行指标数据
5.3.1 评价对比模型
从问题一和问题二的分类排序结果可以看出，固定资产净值，员工人数，投资利益是影响我国银行效率的主要因素，为评估14家银行的状态，首先将11个指标数据按照收益性和成本性进行分类，并建立评价对比模型，如图8和图9所示。
从成本效率角度分析，我国银行的效率排名由低到高分别是中国银行，工商银行，建设银行，农业银行。基于宏观经济基础[2]及问题一的分类结果可以知道中国银行，工商银行，建设银行，农业银行属于国有商业银行，其余银行属于股份制商业银行。从收益效率角度分析，我国银行的效率排名从高到低与成本效率排序正好相反。结合问题二中的排序，基于收益效率和成本效率的综合评价指数对比，如图10和图11所示，可以观察出不论是国有商业银行还是股份制银行的成本和收益效率变化性小，总体稳定，由此判断出银行效率状况稳定。
5.3.2灰色预测
5.3.2.1 数据处理
对第i个银行三年的数据分别记为