圖論生疏點

完全圖

無向完全圖：任意兩個結點間都有邊相連的簡單圖，邊數$C_n^2$，記作$K_n$
有向完全圖：任意兩個結點間都有方向相反的兩條有向邊，邊數$2C_n^2$，記作$D_n$

正則圖

無向簡單圖中，每一個結點度數均爲k，則稱其爲$k-正則圖$，完全圖是$K_n$是$(n-1)-正則圖$

生成子圖

結點個數與母圖一致，邊在母圖範圍內變化

導出子圖

$G[V_1]$表示從母圖$G$中導出$V_1$結點集合的子圖
$G[E_1]$表示從母圖$G$中導出$E_1$邊集合的子圖

自補圖

與自身度補圖同構的圖，n=4k or 4k+1 (0,1,4,5,8,9)

握手定理

• 奇度偶個
• 出度和=入度和=邊數
• 總度和=2m
• 若$G$爲無向簡單圖則$\Delta(G)<=n-1$

判斷一個度序列是否可圖化：奇度偶個
判斷一個度序列是否可簡單圖化：先看$\Delta(G)是否<=n-1$，不成立則不可簡單圖化，成立則需要具體動手畫圖來判斷

圖的同構

1. 證明兩個圖是否是同構：建立結點之間的雙射函數和邊之間的雙射函數

2. 判斷兩個圖是否同構的必要條件：
   1 ) 比較結點數、邊數、度序列、迴路長度
   2 ) 隨意拖動結點看能否一樣(化學中的同分異構體)

3. 給出結點數、邊數、總度數來畫出其所有的不同構圖
   1 ) 先按0的個數來分類寫出所有度序列
   2 ) 根據握手定理和實際畫圖來排除

短線程與結點間距離

短線程：兩結點間長度最短的通路
結點間距離：短線程的長度，記作$d(v_i,v_j)$

判斷4階圖中v1到v4的距離：

1. 先求出1到4階鄰接矩陣
2. 依次看1到4階矩陣中的a14，最低階數且非0，則最低階數爲其距離

關聯矩陣M(G)——縱v行e

無向圖：(點與邊關聯1，點與環關聯2，不關聯0)

1. 每一列和均爲2
2. 每一行和爲對應結點度數(行和爲0則是孤立結點)

有向圖：(點是邊的起點1，點是邊的終點-1，不關聯0)

1. 每一列和均爲0
2. 每一個行中1的個數爲結點出度，-1個數爲結點入度

鄰接矩陣A(G)——縱v行v

行出列入

可達矩陣P(G)——縱v行v

• 對角線元素均爲1
• 無向圖的P(G)對稱
• 有向圖的P(G)不一定對稱

無向連通圖

1. 任意兩結點都是可達的
2. $w(G)$表示連通分支數
3. 割點與割邊
   1 ) 割點：一個圖存在割點則該圖一定存在兩個可達結點到達另一個結點時一定通過割點
   2 ) 割邊：割邊不包含在圖中任何迴路中
4. $K(G)$表示點連通度，$\lambda(G)$表示邊連通度

有向連通圖

1. 強連通圖：G中存在經過每個結點至少一次的迴路
2. 單向連通圖：G中存在經過每個結點至少一次的通路
3. 弱連通圖：沒有上述的迴路和通路，但是忽略邊方向後是連通的

二部圖

G是二部圖，當且僅當G中無奇數長度的迴路

歐拉圖的判定定理

無向圖：

• 歐拉圖：G是連通的且每個結點都數偶度結點
• 半歐拉圖：G是連通的且有兩個奇度結點，其餘均爲偶度結點

有向圖：

• 歐拉圖：G是連通的且每個結點入度=出度
• 半歐拉圖：G是連通的且存在兩個奇度結點，其餘均爲偶度結點，一個奇度結點出度比入度大1，另一個入度比出度大1

哈密頓圖的判定定理

• 一個圖刪去某個結點集合後的連通分支數$>$刪去的結點數，則該圖不是哈密頓圖(通常刪去高度數結點)
• 有割點的圖一定不是哈密頓圖
• 不相鄰的兩個結點度數和$>=n-1$，則存在哈密頓通路
• 不相鄰的兩個結點度數和$>=n$，則存在哈密頓迴路
• 二部圖的$|V_1|=|V_2|$，則爲哈密頓圖
• 二部圖的$|V_1|+1=|V_2|$，則爲半哈密頓圖
• 二部圖的$|V_1|+2<=|V_2|$，則不是哈密頓圖

樹

1. m=n-1
2. 求最小生成樹
3. 求最優二叉樹