【優化理論與方法】單純性方法的背景和經濟解釋

背景

單純形方法(simplex method)是求解線性規劃問題的通用有效算法，於1947年由G.B.Dantaig首先提出，該算法被稱爲20世紀最成功的算法之一.其基本思想是根據線性規劃問題的標準形式，從可行域中的某個初始基可行解出發，按目標函數值增大(或減小)的方式轉換到另一個基可行解，直到目標函數值達到最優爲止.。

單純性方法的經濟解釋

例題

求生產計劃問題

解：化爲標註形式爲

目標函數中鬆弛變量的價值係數爲0，其經濟意義是沒有被利用的資源，約束條件的係數矩陣爲：

（資源不被利用，不能產生利潤所以價值係數爲0）

取基矩陣（基矩陣不唯一）

對應基矩陣的基變量爲：

目標函數用非基變量表示爲：

（ 用非基變量表示，目的是確定非基變量的係數是否還有正的，看目標函數值是不是還能夠增加）

當工廠未做生產時 =  =  = 0，工時和原材料都沒被利用，去 = 4， = 9.工廠不產生利潤，z = 0 ，得一個基解

由於目標函數中非基變量的係數都爲正，若將非基變量變爲基變量，也就是說安排產品生產，就可以增加工廠的利潤，首先應選獲利最大的產品投產，取目標函數中係數（貢獻係數）最大的非基變量轉化爲基變量，例如取，取 =  = 0需滿足

計算生產多少利潤最大

這表明生產2個單位產品B，正好將4個單位的工時用完，即 = 0，此時消耗原材料 = 8 ，原材料還有1個單位仍未被利用，得新基可行解：

從經濟意義上看，4個單位的工時生產2個單位的產品B，即變爲非基變量，原線性規劃問題轉化爲

令非基變量 =  = = 0，得z = 6

由於目標函數仍有非基變量的係數爲正，將從非基變量轉換爲基變量的線性規劃問題

的取值應滿足和都大於等於0

目標函數中非基變量係數都爲負值，這些變量的增加將會導致目標值得減少，故目前生產方案 = 4 ， = 0， = 0， = 0， = 5使目標函數達到最大值z = 8

最優解爲：

（生產4個單位的A 產品，時間用完，原材料剩餘5個單位。）