（noip 模擬 allonsy）

Problem

題⽬描述
“Allons-y!”
時間還算⾜夠，好好看看題吧。
有⼀種說法，時間線是扭曲的，會相互交織。（⼀般在科幻⽚⾥⽐較流⾏？）
不管啦，反正現在有個藍盒⼦，在時間線上隨機遊⾛。
記這個盒⼦⼀開始在時間線上的位置爲 0，記當前位置爲 pos，每⼀次穿梭，它
有 q 的概率到達 pos + 1，1 − q 的概率到達 pos − 1。
特別的，q 是⼀個有理數。
我們認爲時間線的兩端近乎在⽆窮遠處，問 n 次穿梭後，藍盒⼦離初始位置的
期望距離。
爲了避免精度問題，這⾥採⽤取模來避免實數運算。
具體來說，輸⼊會給出⼀個素數 p，⽽每次穿梭過程中從 pos 到達 pos+1 的概
率 q 將在模意義下給出。
（例如 q =a
b ，這⾥保證 b,p 互素，讀⼊的將是模意義下
的
a
b ）。
輸⼊格式
⼀⾏三個正整數 n,q,p，分別表⽰穿梭的次數、模 p 意義下的概率 q 和模數 p。
輸出格式
⼀⾏⼀個整數，爲藍盒⼦離初始位置的期望距離在模意義下的值。
樣例輸⼊
100 1 1000000207
2.5 樣例輸出
100
4
2.6 數據規模和約定
對於全部的數據，10 9 ≤ p ≤ 2 × 10 9 且 p 爲素數，0 ≤ q ≤ p − 1
對於 20% 的數據，n ≤ 15。
對於另外 30% 的數據，n ≤ 1000。
對於剩下 50% 的數據，n ≤ 5 × 10 4 。

Solution

• O(n)求階乘和逆元
• 其它的亂七八糟。。。

// by spli
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#define LL long long
using namespace std;

const int N=50010;
LL n,q,p;
LL fac[N],inv[N];

LL exp(LL a,LL b){
    LL ret=1,k=a;
    while(b){
        if(b&1) (ret*=k)%=p;
        b>>=1;
        (k*=k)%=p;
    }
    return ret%p;
}

void factor(){
    fac[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i) fac[i]=fac[i-1]*i%p;
    inv[n]=exp(fac[n],p-2);
    for(int i=n-1;i>=0;--i)
        inv[i]=(inv[i+1]*(i+1))%p;
}

LL C(LL a,LL b){
    return fac[b]%p*inv[b-a]%p*inv[a]%p;
}

int main(){
    scanf("%lld%lld%lld",&n,&q,&p);
    factor();
    //for(int i=1;i<=10;++i) cout<<fac[i]<<" "<<inv[i]<<endl;
    LL ans=0;
    for(int i=0;i<=n;++i)
        ans+=exp(1-q+p,n-i)*exp(q,i)%p*C(i,n)%p*abs(n-2*i)%p;
    cout<<(abs(ans)+p)%p;
    return 0;
}