（noip 模拟 allonsy）

Problem

题⽬描述
“Allons-y!”
时间还算⾜够，好好看看题吧。
有⼀种说法，时间线是扭曲的，会相互交织。（⼀般在科幻⽚⾥⽐较流⾏？）
不管啦，反正现在有个蓝盒⼦，在时间线上随机游⾛。
记这个盒⼦⼀开始在时间线上的位置为 0，记当前位置为 pos，每⼀次穿梭，它
有 q 的概率到达 pos + 1，1 − q 的概率到达 pos − 1。
特别的，q 是⼀个有理数。
我们认为时间线的两端近乎在⽆穷远处，问 n 次穿梭后，蓝盒⼦离初始位置的
期望距离。
为了避免精度问题，这⾥采⽤取模来避免实数运算。
具体来说，输⼊会给出⼀个素数 p，⽽每次穿梭过程中从 pos 到达 pos+1 的概
率 q 将在模意义下给出。
（例如 q =a
b ，这⾥保证 b,p 互素，读⼊的将是模意义下
的
a
b ）。
输⼊格式
⼀⾏三个正整数 n,q,p，分别表⽰穿梭的次数、模 p 意义下的概率 q 和模数 p。
输出格式
⼀⾏⼀个整数，为蓝盒⼦离初始位置的期望距离在模意义下的值。
样例输⼊
100 1 1000000207
2.5 样例输出
100
4
2.6 数据规模和约定
对于全部的数据，10 9 ≤ p ≤ 2 × 10 9 且 p 为素数，0 ≤ q ≤ p − 1
对于 20% 的数据，n ≤ 15。
对于另外 30% 的数据，n ≤ 1000。
对于剩下 50% 的数据，n ≤ 5 × 10 4 。

Solution

• O(n)求阶乘和逆元
• 其它的乱七八糟。。。

// by spli
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#define LL long long
using namespace std;

const int N=50010;
LL n,q,p;
LL fac[N],inv[N];

LL exp(LL a,LL b){
    LL ret=1,k=a;
    while(b){
        if(b&1) (ret*=k)%=p;
        b>>=1;
        (k*=k)%=p;
    }
    return ret%p;
}

void factor(){
    fac[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i) fac[i]=fac[i-1]*i%p;
    inv[n]=exp(fac[n],p-2);
    for(int i=n-1;i>=0;--i)
        inv[i]=(inv[i+1]*(i+1))%p;
}

LL C(LL a,LL b){
    return fac[b]%p*inv[b-a]%p*inv[a]%p;
}

int main(){
    scanf("%lld%lld%lld",&n,&q,&p);
    factor();
    //for(int i=1;i<=10;++i) cout<<fac[i]<<" "<<inv[i]<<endl;
    LL ans=0;
    for(int i=0;i<=n;++i)
        ans+=exp(1-q+p,n-i)*exp(q,i)%p*C(i,n)%p*abs(n-2*i)%p;
    cout<<(abs(ans)+p)%p;
    return 0;
}