【庫存筆記1】Stock Rationing in an M/ E_k / 1 Make-to-Stock Queue

背景模型

主題	庫存分配問題 (stock rationing problem)
模型	$M/E_k/1$
生產系統	單產品，make-to-stock	生產時間：$k$-Erlang 分佈，均值$1/{\mu}$
需求	多類需求 (several demand classes), 滿足 Poisson 分佈	$N$類，lost sales cost: $c_1>\cdots>c_N\\\,$ 第 $i$ 類需求的rate:$\lambda_i$
關鍵變量	存在一個狀態變量（工作存儲水平 work storage level）可以用於完全捕獲有關庫存水平的信息以及目前的生產狀況
最優分配策略	由一個單調的關鍵工作存儲水平序列來刻畫：對每一類需求，存在一個工作存儲水平， 當庫存小於等於它時，最優策略是拒絕當前此類需求
最優生產策略	也由一個關鍵工作存儲水平來刻畫

DP模型

標記	含義
$I(t)$	在 $t$ 時刻已經完成的生產階段數目
$X(t)$	在 $t$ 時刻的庫存水平
$(I(t),X(t))$ 或者　$Y(t)=I(t)+kX(t)$	系統狀態
$g(I(t),X(t))$ 或者 $h(Y(t))$	庫存持有費用函數 inventory holding cost function
$c_j$	第 $j$ 類需求的拒絕成本
$N_j^u(t)$	在策略 $u$ 之下，截止 $t$ 時刻第 $j$ 類需求被拒絕的累積數量

優化問題模型：
$f(y)=\mathop{\inf}\limits_{u} \mathbb{E}_y^u\left\{ \int_0^{\infty}e^{-\alpha t}h(Y^u(t))dt + \sum_{j=1}^N \int_0^{\infty}e^{-\alpha t}c_jdN_j^u(t) \right\} \tag{1}$ 其中 $y=Y(0)$ 是初始庫存水平, $\alpha$ 是衰減因子。

統一的生產速率：$\gamma = k\mu+\mathop{\sum}\limits_{j=1}^N \lambda_j$， 假設：$\alpha+\gamma=1$。那麼 (1) 的最優解滿足下面的方程：
$f(y)=h(y)+k\mu H_0f(y) + \mathop{\sum}\limits_{j=1}^N \lambda_jH_jf(y) \tag{2}$ 其中 $H_0$ 和 $H_j$ 是下面的算子:
$\text{production decesion}\qquad H_0 f(y) = \begin{cases} \min [f(y+1), f(y)] &\text{if} \; y/k\in\mathbb{Z} \\ f(y+1) & \text{otherwise} \end{cases}$$\text{rationing decesion}\qquad H_j f(y) = \begin{cases} \min [f(y)+c_j, f(y-k)] &\text{if} \; y\ge k \\ f(y)+c_j & \text{otherwise} \end{cases}$