Coverage Control for Mobile Sensing Networks《移動傳感網絡的覆蓋控制》

Cortes, J. , et al. “Coverage control for mobile sensing networks.” (2002).

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A. Locational Optimization

  ${{\mathbb{R}}^{+}}$非負實數，$\mathbb{N}$正自然數，${{\mathbb{N}}_{0}}$正自然數+0，$Q$在${{\mathbb{R}}^{N}}$的多邊形，$\phi :Q\to {{\mathbb{R}}_{+}}$分佈式密度函數，it represents a measure of information or probability that some event takes place over $Q$。即，$Q$是函數$\phi$的邊界函數$P=({{p}_{1}},\cdots ,{{p}_{n}})$是n個傳感器的位置，每個傳感器都在空間Q中運動。由於噪聲和分辨率的損失，從第$i\text{-th}$個傳感器在位置${{p}_{i}}$獲得的$q$點的感測性能會隨着距離$\left\| q-{{p}_{i}} \right\|$的增加而降低。我們用不可減少的微分函數來描述這種退化$f:{{\mathbb{R}}_{+}}\to {{\mathbb{R}}_{+}}$。因此$f(\left\| q-{{p}_{i}} \right\|)$展示了傳感器性能質量評估函數，如圖1所示。

圖1 高斯密度函數的多邊形環境上的等高線圖

Remark 2.1:
  例如，考慮$n$個配備了麥克風的移動機器人，這些麥克風試圖檢測、識別和定位聲源。 爲了最大程度地提高檢測概率，我們應該如何計劃機器人的運動?假設信號源發出已知信號，則最佳檢測算法是匹配濾波器（i.e.，將已知波形與接收信號和閾值進行卷積）。根據信噪比（signal-to-noise-ratio, SNR）來檢測源，該信噪比與麥克風和聲源之間的距離成反比。 各種電磁和聲音傳感器的SNR與距離成反比。

  在本文的上下文中，$Q$的一個分區是內部不相交的$n$個多面體$W=\{{{W}_{1}},\cdots ,{{W}_{n}}\}$的集合，其並集爲$Q$。如果${{W}_{i}}$和${{{W}'}_{i}}$僅通過一組$\phi -measure$ zero度量而不同，則我們說兩個分區$W$和${W}'$相等，其中$i\in \{1,\cdots ,n\}$。

  我們考慮了最小化位置優化函數：
$\Eta \text{(}P,W)=\sum\limits_{i=1}^{n}{\int_{{{W}_{i}}}{f(\left\| q-{{p}_{i}} \right\|}})\phi (q)dq \tag{1}$
在這裏，我們假設傳感器$i$負責其“主導區域”${{W}_{i}}$內的測量。函數$\Eta $將會從兩個方面進行最小化：1）傳感器位置$P$ ，2）“主導區域”$W$。因此，優化主要關於傳感器的位置和空間的劃分進行優化。這個問題被稱爲設施位置問題（facility location problem），特別是作爲一個連續中位數問題在[6]中。
Remark 2.2:
  請注意，如果我們交換任何兩個代理的位置及其相關的主導區域，則位置優化函數H的值不會受到影響。相當於，如果$\sum\nolimits_{n}{{}}$表示離散集羣中n個元素，則對於$\sigma \in \sum\nolimits_{n}{{}}$而言，$\Eta ({{p}_{1}},\ldots {{p}_{n}},{{W}_{1}},\ldots {{W}_{n}})=\Eta ({{p}_{\sigma (1)}},\ldots {{p}_{\sigma (n)}},{{W}_{\sigma (1)}},\ldots {{W}_{\sigma (n)}})$。爲了消除這種離散的冗餘，可以對${{Q}^{n}}$採取（natural action of）$\sum\nolimits_{n}{{}}$的自然作用，並將${{Q}^{n}}/\sum\nolimits_{n}{{}}$作爲n個車輛的位置P的配置空間。

B. 泰森多邊形法分區（Voronoi Partitions）

  很容易看出，在固定的傳感器位置，Q的最優的分區是Voronoi分區$V(P)=\{{{V}_{1}},\ldots ,{{V}_{n}}\}$，其由$\{{{p}_{1}},\ldots ,{{p}_{n}}\}$生成。
${{V}_{i}}=\{\begin{matrix} q\in Q & \left\| q-{{p}_{i}} \right\|\le \\ \end{matrix}\left\| q-{{p}_{j}} \right\|,\forall j\ne i\}$
我們參考了[9]對Voronoi圖的全面處理，並簡要介紹了一些相關概念。該區域集$\{{{V}_{1}},\ldots ,{{V}_{n}}\}$稱爲$\{{{p}_{1}},\ldots ,{{p}_{n}}\}$生成器的Voronoi圖。當兩個Voronoi區域${{V}_{i}}$和${{V}_{j}}$相鄰（i.e.,他們共用一條邊），${{p}_{i}}$被稱爲${{p}_{j}}$(Voronoi)的鄰居(反之亦然)。${{p}_{i}}$的Voronoi鄰居的索引集用$N(i)$表示。顯然$j\in N(i)$，當且僅當$i\in N(j)$。我們還定義$(i,j)$face as$\Delta ij={{V}_{i}}\bigcap {{V}_{j}}$。Voronoi圖可以根據不同的距離函數來定義，例如，1-，2-，$s-$,和$\infty -norm$通過$Q={{\mathbb{R}}^{m}}$，參照[36]。有關Euclidean設置的一些有用設置如下：如果Q是N維歐幾里德空間中的凸多邊形，則每個邊界都是（N-1）維空間中的凸多邊形。

${{\Eta }_{V}}(P)={{\Eta }_{V}}(P,V(P))$
請注意， Voronoi分區的定義爲${{\min }_{i\in \{1,\ldots ,n\}}}f(\left\| q-{{p}_{i}} \right\|)=f(\left\| q-{{p}_{j}} \right\|)$。因此，

也就是說，位置優化函數可以解釋爲由“最小”運算組成的期望值。這是在設施位置和運轉研究文獻中提出問題的常用方法[6]。 值得注意的是，可以證明[10]

i.e.，${{\Eta }_{V}}$關於$i\text{-th}$傳感器的偏導數僅取決於其自身的位置及其Voronoi鄰居的位置。 因此，就Voronoi而言，關於傳感器位置的${{\Eta }_{V}}$導數的計算是分散的。而且，可以推斷出${{\Eta }_{V}}$的一些平滑特性：因爲Voronoi分區V至少連續依賴於$P=\{{{p}_{1}},\ldots ,{{p}_{n}}\}$，對於所有的${{p}_{i}}\ne {{p}_{j}}$，對部分$i,j\in \left\{ 1,\ldots ,n \right\},i\ne j$而言函數${{\Eta }_{V}}$在${{Q}^{n}}\backslash \left\{ P\in {{Q}^{n}}|{{p}_{i}}={{p}_{j}} \right\}$上至少是連續可微的。

C. Centroidal Voronoi Partitions

  讓我們回憶一些與$V\subset {{\mathbb{R}}^{N}}$相關的基本量和質量密度函數$\rho$。廣義質量、質心和極轉動慣量定義爲
質量：${{M}_{V}}\text{=}\int_{V}{\rho (q)dq}$
質心：${{C}_{V}}\text{=}\frac{1}{{{M}_{V}}}\int_{V}{q\rho (q)dq}$
極轉動慣量：${{J}_{V,p}}\text{=}\frac{1}{{{M}_{V}}}\int_{V}{{{\left\| q-p \right\|}^{2}}\rho (q)dq}$
另外，根據平行軸定理，可以寫爲：
${{J}_{V,p}}={{J}_{V,{{C}_{V}}}}+{{M}_{V}}{{\left\| p-{{C}_{V}} \right\|}^{2}} \tag{4}$
其中${{J}_{V,{{C}_{V}}}}\in {{\mathbb{R}}_{+}}$是區域$V$的極轉動慣量，它的中心爲${{C}_{V}}$。

3. CONTINUOUS AND DISCRETE-TIME LLOYD DESCENT FOR COVERAGE CONTROL