Coverage Control for Mobile Sensing Networks《移动传感网络的覆盖控制》

Cortes, J. , et al. “Coverage control for mobile sensing networks.” (2002).

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A. Locational Optimization

  ${{\mathbb{R}}^{+}}$非负实数，$\mathbb{N}$正自然数，${{\mathbb{N}}_{0}}$正自然数+0，$Q$在${{\mathbb{R}}^{N}}$的多边形，$\phi :Q\to {{\mathbb{R}}_{+}}$分布式密度函数，it represents a measure of information or probability that some event takes place over $Q$。即，$Q$是函数$\phi$的边界函数$P=({{p}_{1}},\cdots ,{{p}_{n}})$是n个传感器的位置，每个传感器都在空间Q中运动。由于噪声和分辨率的损失，从第$i\text{-th}$个传感器在位置${{p}_{i}}$获得的$q$点的感测性能会随着距离$\left\| q-{{p}_{i}} \right\|$的增加而降低。我们用不可减少的微分函数来描述这种退化$f:{{\mathbb{R}}_{+}}\to {{\mathbb{R}}_{+}}$。因此$f(\left\| q-{{p}_{i}} \right\|)$展示了传感器性能质量评估函数，如图1所示。

图1 高斯密度函数的多边形环境上的等高线图

Remark 2.1:
  例如，考虑$n$个配备了麦克风的移动机器人，这些麦克风试图检测、识别和定位声源。 为了最大程度地提高检测概率，我们应该如何计划机器人的运动?假设信号源发出已知信号，则最佳检测算法是匹配滤波器（i.e.，将已知波形与接收信号和阈值进行卷积）。根据信噪比（signal-to-noise-ratio, SNR）来检测源，该信噪比与麦克风和声源之间的距离成反比。 各种电磁和声音传感器的SNR与距离成反比。

  在本文的上下文中，$Q$的一个分区是内部不相交的$n$个多面体$W=\{{{W}_{1}},\cdots ,{{W}_{n}}\}$的集合，其并集为$Q$。如果${{W}_{i}}$和${{{W}'}_{i}}$仅通过一组$\phi -measure$ zero度量而不同，则我们说两个分区$W$和${W}'$相等，其中$i\in \{1,\cdots ,n\}$。

  我们考虑了最小化位置优化函数：
$\Eta \text{(}P,W)=\sum\limits_{i=1}^{n}{\int_{{{W}_{i}}}{f(\left\| q-{{p}_{i}} \right\|}})\phi (q)dq \tag{1}$
在这里，我们假设传感器$i$负责其“主导区域”${{W}_{i}}$内的测量。函数$\Eta $将会从两个方面进行最小化：1）传感器位置$P$ ，2）“主导区域”$W$。因此，优化主要关于传感器的位置和空间的划分进行优化。这个问题被称为设施位置问题（facility location problem），特别是作为一个连续中位数问题在[6]中。
Remark 2.2:
  请注意，如果我们交换任何两个代理的位置及其相关的主导区域，则位置优化函数H的值不会受到影响。相当于，如果$\sum\nolimits_{n}{{}}$表示离散集群中n个元素，则对于$\sigma \in \sum\nolimits_{n}{{}}$而言，$\Eta ({{p}_{1}},\ldots {{p}_{n}},{{W}_{1}},\ldots {{W}_{n}})=\Eta ({{p}_{\sigma (1)}},\ldots {{p}_{\sigma (n)}},{{W}_{\sigma (1)}},\ldots {{W}_{\sigma (n)}})$。为了消除这种离散的冗余，可以对${{Q}^{n}}$采取（natural action of）$\sum\nolimits_{n}{{}}$的自然作用，并将${{Q}^{n}}/\sum\nolimits_{n}{{}}$作为n个车辆的位置P的配置空间。

B. 泰森多边形法分区（Voronoi Partitions）

  很容易看出，在固定的传感器位置，Q的最优的分区是Voronoi分区$V(P)=\{{{V}_{1}},\ldots ,{{V}_{n}}\}$，其由$\{{{p}_{1}},\ldots ,{{p}_{n}}\}$生成。
${{V}_{i}}=\{\begin{matrix} q\in Q & \left\| q-{{p}_{i}} \right\|\le \\ \end{matrix}\left\| q-{{p}_{j}} \right\|,\forall j\ne i\}$
我们参考了[9]对Voronoi图的全面处理，并简要介绍了一些相关概念。该区域集$\{{{V}_{1}},\ldots ,{{V}_{n}}\}$称为$\{{{p}_{1}},\ldots ,{{p}_{n}}\}$生成器的Voronoi图。当两个Voronoi区域${{V}_{i}}$和${{V}_{j}}$相邻（i.e.,他们共用一条边），${{p}_{i}}$被称为${{p}_{j}}$(Voronoi)的邻居(反之亦然)。${{p}_{i}}$的Voronoi邻居的索引集用$N(i)$表示。显然$j\in N(i)$，当且仅当$i\in N(j)$。我们还定义$(i,j)$face as$\Delta ij={{V}_{i}}\bigcap {{V}_{j}}$。Voronoi图可以根据不同的距离函数来定义，例如，1-，2-，$s-$,和$\infty -norm$通过$Q={{\mathbb{R}}^{m}}$，参照[36]。有关Euclidean设置的一些有用设置如下：如果Q是N维欧几里德空间中的凸多边形，则每个边界都是（N-1）维空间中的凸多边形。

${{\Eta }_{V}}(P)={{\Eta }_{V}}(P,V(P))$
请注意， Voronoi分区的定义为${{\min }_{i\in \{1,\ldots ,n\}}}f(\left\| q-{{p}_{i}} \right\|)=f(\left\| q-{{p}_{j}} \right\|)$。因此，

也就是说，位置优化函数可以解释为由“最小”运算组成的期望值。这是在设施位置和运转研究文献中提出问题的常用方法[6]。 值得注意的是，可以证明[10]

i.e.，${{\Eta }_{V}}$关于$i\text{-th}$传感器的偏导数仅取决于其自身的位置及其Voronoi邻居的位置。 因此，就Voronoi而言，关于传感器位置的${{\Eta }_{V}}$导数的计算是分散的。而且，可以推断出${{\Eta }_{V}}$的一些平滑特性：因为Voronoi分区V至少连续依赖于$P=\{{{p}_{1}},\ldots ,{{p}_{n}}\}$，对于所有的${{p}_{i}}\ne {{p}_{j}}$，对部分$i,j\in \left\{ 1,\ldots ,n \right\},i\ne j$而言函数${{\Eta }_{V}}$在${{Q}^{n}}\backslash \left\{ P\in {{Q}^{n}}|{{p}_{i}}={{p}_{j}} \right\}$上至少是连续可微的。

C. Centroidal Voronoi Partitions

  让我们回忆一些与$V\subset {{\mathbb{R}}^{N}}$相关的基本量和质量密度函数$\rho$。广义质量、质心和极转动惯量定义为
质量：${{M}_{V}}\text{=}\int_{V}{\rho (q)dq}$
质心：${{C}_{V}}\text{=}\frac{1}{{{M}_{V}}}\int_{V}{q\rho (q)dq}$
极转动惯量：${{J}_{V,p}}\text{=}\frac{1}{{{M}_{V}}}\int_{V}{{{\left\| q-p \right\|}^{2}}\rho (q)dq}$
另外，根据平行轴定理，可以写为：
${{J}_{V,p}}={{J}_{V,{{C}_{V}}}}+{{M}_{V}}{{\left\| p-{{C}_{V}} \right\|}^{2}} \tag{4}$
其中${{J}_{V,{{C}_{V}}}}\in {{\mathbb{R}}_{+}}$是区域$V$的极转动惯量，它的中心为${{C}_{V}}$。

3. CONTINUOUS AND DISCRETE-TIME LLOYD DESCENT FOR COVERAGE CONTROL