常微分方程数值求解的一般概念
常微分方程数值求解的一般概念
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求解微分方程概念
求解常微分方程初值问题就是寻找函数y(t)使之满足如下方程：
y’=f(t,y)，t0≤t≤b ,y(t0)=y0
所谓其数值解法，就是求y(t)在离散结点tn处的函数近似值yn的方法，yn≈y(xn)。 这些近似值称为常微分方程初值问题的数值解。相邻两个结点之间的距离称为步长。 -
两种方法：
- 单步法：在计算yn+1时只用到前一步的yn,因此在有了初值之后就可以逐步往下计算， 其代表是龙格-库塔（Runge-Kutta）法。
- 多步法：在计算yn+1时,除了用到前一步的值yn之外,还要用到yn-p（p=1，2，…，k， k＞0）的值,即前面的k步。其代表就是亚当斯(Adams)法。
常微分方程数值求解函数
常微分方程数值求解函数
- 调用格式
[t,y]=solver(filename,tspan,y0,option)
- t和y分别给出时间向量和相应的数值解。
- solver为求常微分方程数值解 的函数（即下面表格中的函数）。
- filename是定义f(t，y)的函数名，该函数必须返回一个列向量。
- tspan形式为[t0，tf]，表示求解区间。
- y0是初始状态向量。
- Option是可选参数， 用于设置求解属性，常用的属性包括相对误差值RelTol(默认值是10-3)和绝对误 差值AbsTol(默认值是10-6)。
- 常微分方程数值求解函数的统一命名格式：
odennxx
- ode是Ordinary Differential Equation的缩写，是常微分方程的意思。
- nn是数字，代表所用方法的阶数。
例如，ode23采用2阶龙格-库塔（Runge-Kutta）算法，用3阶公式做误差估计来调节步长，具有低等精度。
ode45采用4阶龙格-库塔算法，用5阶公式做误差估计来调节步长，具有中
等精度。 - xx是字母，用于标注方法的专门特征。例如，ode15s、ode23s中的“s”
代表（Stiff），表示函数适用于刚性方程。
求常微分方程数值解的函数
举几个个栗子
例一
f=@(t,y) (y^2-t-2)/4/(t+1);
[t,y]=ode23(f,[0,10],2);
y1=sqrt(t+1)+1;%精确计算
plot(t,y,'b:',t,y1,'r');%绘图比较一下精确计算与数值求解的结果，从图形可以看出拟合较好
例二
f=@(t,x) [-2,0;0,1]*[x(2);x(1)];
[t,x]=ode45(f,[0,20],[1,0]); %四个未知数
subplot(2,2,1);plot(t,x(:,2));
subplot(2,2,2);plot(x(:,2),x(:,1));
刚性问题
有一类常微分方程，其解的分量有的变化很快，有的变化很慢，且相差悬殊，这就是所谓的刚性问题(Stiff)。
对于刚性问题，数值解算法必须取很小步长才能获得满意的结果，导致计算
量会大大增加。解决刚性问题需要有专门方法。非刚性算法可以求解刚性问
题，只不过需要很长的计算时间。
举个例子
假如点燃一个火柴，火焰球迅速增大直至某个临界体积，然后，维持这一体积不变，原因是火焰球内部燃烧耗费的氧气和从球表面所获氧气达到平衡。其简化模型如下：
其中，y(t)代表火焰球半径，初始半径是λ，它很小。分析λ的大小对方程求解过程的影响。
这里列出两个方法，通过对比时间长短体会刚性问题的特殊解法。
lamada较大采用非刚性解法
lamda=0.01; %lamada较大
f=@(t,y) y^2-y^3;
tic;%记录开始时间
[t,y]=ode45(f,[0,2/lamda],lamda);%非刚性解法
toc ;%记录结束时间
disp(['ode45计算的点数' num2str(length(t))]);
结果：
时间已过 0.061455 秒。%时间较短，说明此时没有较明显的刚性
ode45计算的点数157
lamada较小，两种方法对比
非刚性解法：
lamda=1e-5; %lamda特别小
f=@(t,y) y^2-y^3;
tic;
[t,y]=ode45(f,[0,2/lamda],lamda);
toc;
disp(['ode45计算的点数' num2str(length(t))]);
结果：
时间已过 0.230707 秒。
ode45计算的点数120565%时间长，点数多表明明显的钢性特征
刚性解法：
lamda=1e-5;
f=@(t,y) y^2-y^3;
tic;
[t,y]=ode15s(f,[0,2/lamda],lamda);
toc
disp(['ode15s计算的点数' num2str(length(t))])
结果：
时间已过 0.044472 秒。
ode15s计算的点数98