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CodeForces 1218H Function Composition

题目大意

给定一个长度为$N$的序列$A(1\le A_i\le N)$，现在定义一个函数如下：

• $f(i,1)=A_i$；
• $f(i,m)=A_{f(i,m-1)}$。

给定$m,y$，求有多少个$x$使得$f(x,m)=y$，多组询问。

分析

考虑将这个问题转化为一个图论问题：当$A_x=y$时，我们连一条从$x$到$y$的有向边。

对于这个图，我们仔细观察一下可以发现如下性质：

• 每个节点的出度都是$1$；
• 每个连通块都可以被单独考虑计算贡献；
• 查询可以变成找出节点$y$的$m$级祖先有多少个；
• 每个连通块中只有一个环。

考虑离线处理询问。

我们先预处理出所有的环。然后枚举每个位置上的询问，分两种情况讨论：

• $y$不属于任何一个环：我们需要统计的就是距离当前深度等于$m$的点的数量，这个可以用 DFS 来完成：先删掉环上的所有边，然后在记录每个深度上的节点数量，就可以求出距离$y$的为$m$的点。
• $y$在环上，我们将从环上的任意一个节点$z$开始遍历。设$z$到$y$的距离为$t$，环长为$l$。我们先删掉$z$的出边（它只有这么一条），那么我们就可以比较轻松回答询问了，这样我们只需要计算距离$y$节点为$(m+t)\mod l$的节点数量了。

这东西说着容易，写起来贼难受。。。

参考代码

#include <queue>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int Maxn = 2e5;

struct DSU {
	int fa[Maxn + 5];
	void init(int n) {
		for(int i = 1; i <= n; i++)
			fa[i] = i;
	}
	int find(int u) {
		return u == fa[u] ? u : fa[u] = find(fa[u]);
	}
	bool unite(int u, int v) {
		u = find(u), v = find(v);
		if(u == v) return false;
		fa[u] = v;
		return true;
	}
};

struct Query {
	int id, typ;
	ll m;
	Query(){}
	Query(int _typ, int _id, ll _m) {
		typ = _typ, id = _id, m = _m;
	}
	bool operator < (const Query &rhs) const {
		return m == rhs.m ? typ > rhs.typ : m > rhs.m;
	}
};

struct Edge {
	int to;
	Edge *nxt;
};

int N, A[Maxn + 5];
DSU s;

Edge pool[Maxn * 2 + 5];
Edge *G[Maxn + 5], *ecnt = &pool[0];
inline void addedge(int u, int v) {
	Edge *p = ++ecnt;
	p->to = v, p->nxt = G[u];
	G[u] = p;
}

vector<int> circles[Maxn + 5];
int cnt_circle;

bool on_circle[Maxn + 5];
bool DFS(int u, int tp) {
	if(u == tp) {
		on_circle[u] = true;
		circles[cnt_circle].push_back(u);
		return true;
	}
	for(Edge *p = G[u]; p != NULL; p = p->nxt) {
		int v = p->to;
		if(!DFS(v, tp)) continue;
		on_circle[u] = true, circles[cnt_circle].push_back(u);
		return true;
	}
	return false;
}

vector<Query> Q[Maxn + 5];

int len, cnt[Maxn + 5];
priority_queue<Query> q;
int mxdep;
int ans[Maxn + 5], res[Maxn + 5];
inline int nxt(int x) {return x == len - 1 ? 0 : x + 1;}
void DFS(int u, int dep, int cirid, int pos) {
	q.push(Query(-1, circles[cirid][pos], dep));
	mxdep = max(mxdep, dep);
	if(!on_circle[u])
		for(int i = 0; i < (int)Q[u].size(); i++)
			if(dep + Q[u][i].m <= Maxn)
				ans[Q[u][i].id] -= cnt[dep + Q[u][i].m];
	cnt[dep]++;
	for(Edge *p = G[u]; p != NULL; p = p->nxt) {
		int v = p->to;
		if(on_circle[v]) continue;
		DFS(v, dep + 1, cirid, nxt(pos));
	}
	if(!on_circle[u])
		for(int i = 0; i < (int)Q[u].size(); i++)
			if(dep + Q[u][i].m <= Maxn)
				ans[Q[u][i].id] += cnt[dep + Q[u][i].m];
}

int main() {
#ifdef LOACL
	freopen("in.txt", "r", stdin);
	freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
	scanf("%d", &N);
	s.init(N);
	for(int i = 1; i <= N; i++) {
		scanf("%d", &A[i]);
		if(!s.unite(A[i], i)) {
			cnt_circle++, DFS(i, A[i]);
			reverse(circles[cnt_circle].begin(), circles[cnt_circle].end());
		}
		addedge(A[i], i);
	}
	int _;
	scanf("%d", &_);
	for(int i = 1; i <= _; i++) {
		ll m;
		int y;
		scanf("%lld %d", &m, &y);
		Q[y].push_back(Query(0, i, m));
	}
	for(int i = 1; i <= cnt_circle; i++) {
		len = (int)circles[i].size();
		for(int j = 0; j < len; j++) {
			int u = circles[i][j];
			mxdep = 0;
			DFS(u, 0, i, j);
			for(int k = 0; k <= mxdep; k++) cnt[k] = 0;
			for(int k = 0; k < (int)Q[u].size(); k++) {
				int v = circles[i][(j + Q[u][k].m) % len];
				q.push(Query(Q[u][k].id, v, Q[u][k].m));
			}
		}
		while(!q.empty()) {
			Query tmp = q.top();
			q.pop();
			if(tmp.typ == -1) res[tmp.id]++;
			else ans[tmp.typ] = res[tmp.id];
		}
	}
	for(int i = 1; i <= _; i++)
		printf("%d\n", ans[i]);
	return 0;
}