HYSBZOJ 2337 [HNOI2011]XOR和路径
题目大意
分析
我们先考虑将这个问题转化为一个期望 DP ,设为从走到的异或和的期望值,并记节点的度数为,之间的边权为。
则可以与它邻接的节点转移过来,所以不难得出:
然而这个图里面有自环、重边等,这个方程是有后效性的。
我们发现总点数非常小,所以我们可以考虑高斯消元来求解这个方程。
但如果用高斯消元来做的话,异或实在是不好处理。但是我们可以将数按照二进制位拆开来做。
由于期望的线性性(),异或运算每位都互不影响,那么这样做显然是对的。
则重新设从到的路径上二进制第位上为的概率(也就是该位上为的期望),表示边的边权上二进制的第位。
那么就可以列出如下式子:
简单整理一下:
这样就可以用高斯消元做了。
我们对于二进制下的每一位都这样来一遍,最终的答案就是。
总时间复杂度为。
参考代码
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int Maxn = 100;
const int Maxm = 10000;
const double EPS = 1e-7;
struct Edge {
int to, dis;
Edge *nxt;
};
Edge pool[Maxm * 2 + 5];
Edge *G[Maxn + 5], *ecnt = &pool[0];
void addedge(int u, int v, int dis) {
Edge *p = ++ecnt;
p->to = v, p->dis = dis;
p->nxt = G[u], G[u] = p;
}
int N, M;
int deg[Maxn + 5];
double g[Maxn + 5][Maxn + 5];
void Gauss() {
for(int i = 1; i <= N; i++) {
int to = i;
for(; to <= N; to++)
if(fabs(g[to][i]) > EPS) break;
if(to > N) continue;
if(to != i)
for(int j = 1; j <= N + 1; j++) swap(g[to][j], g[i][j]);
double t = g[i][i];
for(int j = 1; j <= N + 1; j++) g[i][j] /= t;
for(int j = 1; j <= N; j++)
if(j != i) {
t = g[j][i];
for(int k = 1; k <= N + 1; k++)
g[j][k] -= t * g[i][k];
}
}
}
int main() {
#ifdef LOACL
freopen("in.txt", "r", stdin);
freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
scanf("%d %d", &N, &M);
for(int i = 1; i <= M; i++) {
int u, v, w;
scanf("%d %d %d", &u, &v, &w);
addedge(u, v, w), ++deg[u];
if(u != v) addedge(v, u, w), ++deg[v];
}
double ans = 0;
for(int k = 30; k >= 0; k--) {
memset(g, 0, sizeof g);
for(int u = 1; u < N; u++) {
g[u][u] = -deg[u];
for(Edge *p = G[u]; p != NULL; p = p->nxt) {
int v = p->to, w = (p->dis >> k) & 1;
if(w) g[u][v]--, g[u][N + 1]--;
else g[u][v]++;
}
}
g[N][N] = 1;
Gauss();
ans += (1 << k) * g[1][N + 1];
}
printf("%.3f", ans);
return 0;
}