第三课-矩阵乘法和可逆矩阵

1 概述

上一课讲解了矩阵与向量之间的乘法，这一课主要讲矩阵与矩阵的乘法，并对逆矩阵进行详细介绍。

2 矩阵乘法

在矩阵乘法中，需要注意$A$的列数必须等于$B$的行数。
$\underbrace{\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}}_{A_{m*n}} \underbrace{\begin{bmatrix}9&8&7\\6&5&4\\3&2&1\end{bmatrix}}_{B_{n*p}}= \underbrace {\begin{bmatrix}c_{11} & c_{12} & c_{13} \\c_{21} & c_{22} & 54 \\c_{31} & c_{32} & c_{33}\end{bmatrix}}_{C_{m*p}}$

方法一 行列点乘法

$\begin{aligned}C_{ij} =\sum_{k=1}^{n}A_{ik}B_{jk}\end{aligned}$ 即$C$中第$i$行$j$列的元素等于$A$中第$i$行与$B$中第$j$列的点乘。
$\begin{aligned} C_{23} &= A_{row_{2}}B_{col_{3}} = A_{21}B_{13} + A_{22}B_{23} + A_{23}B_{33}\\&=4*7 + 5*4 + 6*1 = 28 + 20 + 6 = 54 =\sum_{k=1}^{n}A_{2k}B_{k3}\end{aligned}$

方法二 列方法

整列考虑，$C$中的各列是$A$中各列的线性组合。$B$的一个列向量乘以$A$（矩阵$A$各列向量的线性组合）得到$C$的对应列向量，此过程其余列向量暂不参与计算。
$\begin{aligned} C_{col1} &= AB_{col1} = B_{11}A_{col1} + B_{12}A_{col2} + B_{13}A_{col3} \\&= \begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\begin{bmatrix}9\\6\\3\end{bmatrix} = 9\begin{bmatrix}1\\4\\7\end{bmatrix}+ 6\begin{bmatrix}2\\5\\8\end{bmatrix}+ 3\begin{bmatrix}3\\6\\9\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}9\\36\\63\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}12\\30\\48\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}9\\18\\27\end{bmatrix} \\&= \begin{bmatrix}30\\84\\138\end{bmatrix} \end{aligned}$

方法三 行方法

整行考虑，$C$中的各行是$B$中各行的线性组合。$A$的一个行向量乘以$B$(矩阵$B$各行向量的线性组合)得到$C$的对应行向量，此过程其余行向量暂不参与计算。
$\begin{aligned} C_{row1} &= A_{row1}B = A_{11}B_{row1} + A_{12}B_{row2} + A_{13}B_{row3} \\&= \begin{bmatrix}1&2&3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}9&8&7\\6&5&4\\3&2&1\end{bmatrix} = 1\begin{bmatrix}9&8&7\end{bmatrix} + 2\begin{bmatrix}6&5&4\end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix}3&2&1\end{bmatrix} \\&= \begin{bmatrix}9&8&7\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}12&10&8\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}9&6&3\end{bmatrix} \\&= \begin{bmatrix}30&24&18\end{bmatrix} \end{aligned}$

方法四 列*行

$A$各列与$B$各行乘积之和，例如$A$中第一列乘以$B$中第一行会得到一个矩阵，最后将各矩阵相加。
$\begin{aligned} C &=A_{col1}B_{row1}+A_{col2}B{row2}+A_{col3}B_{row3} \\&= \begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix} \begin{bmatrix}9&8&7\\6&5&4\\3&2&1\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1\\4\\7\end{bmatrix} \begin{bmatrix}9&8&7\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}2\\5\\8\end{bmatrix} \begin{bmatrix}6&5&4\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}3\\6\\9\end{bmatrix} \begin{bmatrix}3&2&1\end{bmatrix} \\&= \begin{bmatrix}9&8&7\\36&32&28\\63&56&49\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}12&10&8\\30&25&20\\48&40&32\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}9&6&3\\18&16&6\\27&18&9\end{bmatrix} \\&= \begin{bmatrix}30&24&18\\84&73&54\\138&114&90\end{bmatrix} \end{aligned}$

方法五：分块乘法

将矩阵$A$，$B$分成能够相互匹配的块，然后对应块进行行列点乘法。
$\left[\begin{array}{c|c} A_{1} & A_{2} \\ \hline A_{3} & A_{4} \end{array}\right] \left[\begin{array}{c|c} B_{1} & B_{2} \\ \hline B_{3} & B_{4} \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c|c} C_{1} & C_{2} \\ \hline C_{3} & C_{4} \end{array}\right] C1=A_{1}B_{1}+A_{2}B_{3}$

3 逆矩阵

对于一个方阵$A$，如果$A$可逆，就有一个$A^{-1}$，使
$\begin{aligned}\tag{1} A^{-1} A = I = A A^{-1} \end{aligned}$
公式(1)中$I$为单位矩阵，既左逆矩阵等于右逆矩阵
如果$A$非方阵： $\underbrace{A^{-1}A}_{左逆}\ne\underbrace{AA^{-1}}_{右逆}$。因为这时左右侧$A^{-1}$的形状一定不相同。

3.1 奇异矩阵：(没有逆的情况)

$\underbrace{\begin{bmatrix}1&3\\2&6\end{bmatrix}}_A X = I$
矩阵$A$是否存在逆矩阵?从列组合的方面来考虑:矩阵$I$的列向量是矩阵$A$列向量的线性组合，即$a\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}+b\begin{bmatrix}3\\6\end{bmatrix}=c\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$，很明显结果并不为$I$的某一列，因为单位矩阵中一列只有一个元素为1，其余元素均为0。
如果存在非零向量$X$，使得$AX=0$，$A$没有逆矩阵。假如$A$有逆，由$A^{-1}Ax=Ix=0$，可知矛盾。

3.2 非奇异矩阵

$\underbrace{\begin{bmatrix}1&3\\2&7\end{bmatrix}}_A \underbrace{\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}_{A^{-1}} = \underbrace{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}_I$
$ AA^{-1}{colj} = I{colj} ​$，$A​$乘以其逆的第$j​$列等於单位阵的第$j​$列
$\begin{bmatrix}1&3\\2&7\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} \qquad \begin{bmatrix}1&3\\2&7\end{bmatrix} \begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$

3.3 高斯-若尔当

如何求解一个方阵的逆?一般的方法，就是假设出$A^{-1}$中的元素，然后就是求解一个线性方程组的过程。更好的方式是将两个矩阵放在一起考虑 $(A,I)$，同时对两个矩阵进行变换求逆矩阵。
$\begin{aligned} \left[\begin{array}{cc|cc} 1&3&1&0\\2&7&0&1\end{array}\right]\underrightarrow{E_{21}} \left[\begin{array}{cc|cc} 1&3&1&0\\0&1&-2&1\end{array}\right]\underrightarrow{E_{12}} \left[\begin{array}{cc|cc} 1&0&7&-3\\0&1&-2&1\end{array}\right] \end{aligned}$
用消元的思想表示上面的过程:
$E(A,I) = (EA,EI) = (I,A^{-1})$