多项式全家桶（零）：前置和目录

$\ \ \ \ \ \ \,$终于把多项式差不多弄完了，可以找个机会在退役前把多项式整理封装弄好，也算是留下了一点东西吧（嘿嘿。

$\ \ \ \ \ \ \,$这一部分实例的代码是用 $std::vector$ 封装好的，这篇博客先提一下前置：

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$\ \ \ \ \ \ \,$首先是可能需要用到的定义，都是比较基础的数论知识，不赘述了：

#define Polynomial vector<int>
//封装多项式为 std::vector，方便resize等操作
void print(Polynomial &a,int len){for(int i=0;i<len;i++)printf("%d ",a[i]);}
const int mod=998244353,mod_g=3,img=86583718;
//mod为多项式系数的取模值，mod_g是它的原根，img为在模意义下的虚部，只有多项式三角函数会遇到。
int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(!b){x=1;y=0;return;}
	exgcd(b,a%b,y,x);y-=x*(a/b);
}
//gcd，exgcd只有在开根的时候会用到
int power(int a,int b)
{int ans=1;for(;b;b>>=1,a=1ll*a*a%mod)if(b&1)ans=1ll*ans*a%mod;return ans;}
#define Inv(x) power(x,mod-2)

$\ \ \ \ \ \ \,$然后是核心的快速数论变换 $NTT$，相关请看【求多项式卷积的变换】：

Polynomial R;
inline int Binary_Rounding(const int &n)
{int len=1;for(;len<n;len<<=1);return len;}
//二进制向上取整，为方便NTT变换准备。
inline int Prepare_Transformation(int n){
  	int L=0,len;for(len=1;len<n;len<<=1)L++;R.clear();R.resize(len);
  	for(int i=0;i<len;i++)R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
  	return len;
}
//预处理R数组，准备变换，在每次NTT之前理论都要调用此函数。
void NTT(Polynomial &a,int f){
	int n=a.size();
	for(int i=0;i<n;i++)if(i<R[i])swap(a[i],a[R[i]]);
  	for(int i=1;i<n;i<<=1)
  	for(int j=0,gn=power(mod_g,(mod-1)/(i<<1));j<n;j+=(i<<1))
  	for(int k=0,g=1,x,y;k<i;k++,g=1ll*g*gn%mod)
	  	x=a[j+k],y=1ll*g*a[i+j+k]%mod,
	  	a[j+k]=(x+y)%mod,a[i+j+k]=(x-y+mod)%mod;
  	if(f==-1){
   		reverse(a.begin()+1,a.end());
    	int inv=Inv(n);
    	for(int i=0;i<n;i++)a[i]=1ll*a[i]*inv%mod;
  	}
}

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$\ \ \ \ \ \ \,$在掌握上面简单知识后，就可以进行多项式的入门了，我差不多按照学习的拓扑序给出下面的目录，也分开记录一下自己的模板：

$\ \ \ \ \ \ \,$对了，还是建议用 $vector$ 的，用数组的话，到时候对于临时数组的清空问题会让你怀疑人生的！！

• 多项式全家桶（一）：多项式的加，减，卷积

  1. 多项式加，减单项式；
  2. 多项式卷积单项式；
  3. 多项式加，减多项式；
  4. 多项式卷积多项式；
  5. 多项式除法和取模。

• 多项式全家桶（二）：多项式的逆，导，积

  1. 多项式求逆；
  2. 多项式求导；
  3. 多项式求积；
  4. 多项式复合逆。

• 多项式全家桶（三）：多项式的 $ln$，$exp$

  1. 多项式的$ln$；
  2. 多项式的$exp$。

• 多项式全家桶（四）：多项式快速幂，开方

  1. 多项式快速幂；
  2. 多项式开方；
  3. 多项式开高次方。

• 多项式全家桶（五）：多项式三角函数，反三角函数

  1. 多项式$Sin$；
  2. 多项式$Cos$；
  3. 多项式$Asin$；
  4. 多项式$Atan$。