《圖論及其應用》學習筆記（圖和簡單圖）

圖和簡單圖：

一個圖就是，由一個表示具體事物的點的集合，和表示事物之間聯繫的一些線的集合所構成。

平凡圖：只有一個點而無邊的圖。

空圖：邊集爲空的圖。

假設u和v是e的端點，稱u與e相關聯。

 

圖的同構：

且和的重數相同。

等價類：按照同構關係可劃分。

商集：所有等價類爲元素構成的集合。

 

完全偶圖：具有二分類（X,Y）的簡單偶圖，其中X的每個頂點與Y的每個頂點相連。

補圖：

對於一個簡單圖G=(V,E)，令集合，則圖稱爲G的補圖。

ps：這裏E和E1的邊加起來，就是完全圖的邊數。

ps：因爲是自補圖，自己和自己的補圖同構，邊數當然是一樣的啦。

取模運算，商偏向於負無窮方向。去餘運算，商偏向於0方向。

a ≡ b (mod p)，表明a和b對p取模，它們餘數相等。

 

頂點的度，度序列：

奇點：奇數度的頂點；偶點：偶數度的頂點。

k正則圖：每個點的度數都爲k。如：完全圖和完全偶圖均是正則圖。

握手定理：

 

ps：因爲總的度數爲偶數。偶點無論怎麼加都爲偶數，奇點要加夠偶數個，才爲偶數。

ps：k爲奇數，則圖的所有點都爲奇點，奇點的個數必爲偶數，也就是階數爲偶數。

 

ps：當△（G）＜n-1時， 所有的度可能的情況都在括號裏了。當△（G）=n-1時，每個頂點的度數範圍在最小度到最大度之間，這個長度的範圍是，又有△（G）+1=n，減去δ就肯定＜n了，那肯定有頂點重複。

 

子圖與圖的運算：

子圖：頂點集是子集、邊集也是子集，而且子圖中的邊的重數不超過G中對應邊的重數。

生成子圖：頂點集相同的子圖。

導出子圖：提取出一個頂點集，和這些頂點集相關聯的邊的子圖。

相關記法：G[V']；G[V\V']是除去V'頂點及相關聯的邊，也有G-V’

邊導出子圖：提取出邊集，和這些邊的端點，的子圖。

相關記法：G[E']；G[E\E']，也有G-E'

並圖：G1∪G2，頂點集和邊集都要並，也記爲G1+G2。

交圖：G1  G2，至少要有一個公共頂點。

差：G1-G2，由G1中去掉G2中的邊組成的圖。

對稱差：

 

聯圖：G1和G2不能相交，把G1的每個頂點和G2的每個頂點連接起來，記爲G1VG2。

K1VK2=K5，K2VK3=K5

積圖：對頂點集V=V1 X V2，得到u=(u1,u2)，v=(v1,v2)

若u1=v1，u2和v2在原圖中鄰接，或者u2=v2，u1和v1在原圖中鄰接，則u和v連線。

G=G1 X G2

運算後，點和邊的數目統計：

ps：積圖邊的數目，G1頂點數n1要和G2的頂點數n2做積，因此n1每個點要負責m2條邊的連接。

 

路與圖的連通性：

跡：途徑中的邊，互不相同。

路：途徑是跡，且頂點也互不相同。

連通是頂點集V上的一個等價關係，可將V劃分爲一些等價類。

可得，連通分支的概念，連通分支個數，記爲(G)，連通圖 (G)=1。

ps：通過證明任意兩點都是連通的方式，來證明G的補圖是連通圖。

閉跡：稱爲迴路。

圈：起點與內部頂點互不相同。長爲k的圈稱爲k圈；根據k是奇數還是偶數，則稱k圈是奇圈和偶圈。

直徑：一個圖中，最長的距離。

ps：在必要性的證明中，圈的長度爲k-1，當k爲奇數時，則圈就爲偶圈。

在充分性的證明中，先根據距離的奇偶性劃分爲兩個集合X和Y，再證明（X,Y）是個二分類，即它們集合內部，任意兩點都不相連。具有相同奇偶性的數相加，必爲偶數。

 

最短路及其算法：

Dantijg算法（頂點標號法）：

ps: Ti爲a1到ai的最短路上的邊集合；Ai爲已經標號的頂點集合；t(an)表示an的標號值，a1到an的最短路長度。

步驟2做的事情：

遍歷每個已標號頂點an。找出：某個已標號頂點an的，未標號鄰點。然後算出：某個已標號頂點an，到其最近鄰點距離。不但要找出l最小，還要使得步驟3中的，t+l最小。

步驟3做的事情：

可以得出某個已標號頂點使得，根據步驟2，算出的各個最小值中，再找出最小值，然後做相應的更新。

好的圖論算法：若在如何一個具有m條邊的n階圖G上，實施這個算法所需要的計算步數，都可由n和m的一個多項式爲其上界。

動態規劃是Bellman，作爲多階段決策過程而研究出來的。

 

圖的代數表示及其特徵：

鄰接矩陣：若節點間相鄰，則爲1，否則爲0；

ps：推論1中，自身到自身，有兩個方向可走。因此，可得出度數和三角形數目的兩倍。

關聯矩陣：

某點vi與邊ej有關聯時，則，否則爲0。

 

極圖：

l部圖：將點集V劃分爲l個互不相交的集合，且每個集合內的點，互不相連。

l=2時，G爲偶圖；n階圖必爲n部圖。

若，因此，部圖也是部圖。

ps：個集合裏的任一個集合都是互不相連的，因此，可任選一些集合來繼續劃分至，集合數量達到。

完全l部圖：每個集合內的點，都和其它集合裏的點，均有邊相連。

完全l部圖可表示爲：

它顯然有：和條邊。

n階完全l幾乎等部圖：

對於一個n個點的完全l部圖G中：

有：，因爲，k(l-r)+r(k+1)=kl+r的形式。

所以記爲：

ps:若u的選取，在V1中，則v要經過V2中的點，才能到達u。

ps：當n1=n2=n/2時，能使m=n1*n2達到最大。

 ps:若是要邊數最多，則必定要是個完全l部圖，完全l幾乎等部圖意味着每個集合的元素個數接近相等，若每個集合裏元素相等，則必定是完全l幾乎等部圖。

 

H的度序列優於G，或者是，G的度序列弱於H，表示的是：有一個映射μ，使得G中的任何點u，有關係成立。

ps：若G度弱於H，一定有：m(G)≤m(H)。

   

 ps：先取出最大度的那個頂點u，再取出u的所有的鄰接點的導出子圖G1。G1要是含有，則 u V G1，就是了。

V2應包含u點，則G2VG1的邊數不少於G。

ps：只能導出G1這麼多個頂點，之後，通過v點能導出更多個頂點。

因爲G度弱於，度弱於，而G和H有相同的度序列，則G和有相同的度序列。

因爲中，V1每個點和V2每個點相連，G和有相同的度序列，那在G中，V1和V2肯定也是互相的。

和有相同的度序列，G1和H1連接G2中的點的邊數是一樣的，因此G1和H1的度序列也必須是相等。

歸納假設是：G1不含，且度弱於完全t-1部圖H1，且G1與H1有相同的度序列，則同構；

因此推導出，做聯圖後，和也同構。

 

託蘭定理：

ps：定理18說明，完全l部圖的邊數肯定 ≤ 完全l幾乎等部圖。

 

託蘭定理的應用：

排雷模型：在任意的兩個人之間的距離不超過g米的條件下，距離大於等於h米的人數對最多能達到多少對。

平面點集A的直徑：指A中點對的距離的最大值，其中距離是指歐式距離。

建立模型：計算在直徑爲g的點集中最多有多少點對，其距離大於h。