關於exgcd（擴展歐幾里得定理）：
由擴展歐幾里德定理，可以通過擴展歐幾里德算法求解線性同餘方程
擴展歐幾里德定理（百度百科）
對於不完全爲 0 的整數 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公約數。那麼一定存在整
數 x，y 使得 gcd（a，b）=ax+by。
即 ax +by = gcd(a, b); 一定存在整數解（x, y）;
題設：
已知a，b，設方程組：ax + by = gcd（a， b） ， 求一組（x， y）使得該式成立。
推導過程：
由歐幾里得定理可知：
由：ax1+by1 = gcd(a, b) = gcd(b, a%b) = bx2 + (a%b)y2 ；
而 ：bx2 + (a%b)y2 = bx2 + (a - a/b * b)y2 ;
整理可得：
x1a + y1b = y2a + (x2 - a/b*y2)b
由a， b的係數相同和待定係數法可知：
x1 = y2;
y1 = x2 - a/b*y2;
這樣它就將a與b的線性組合化簡爲b與a%b的線性組合。
因爲a和b都在不斷減小，gcd（a, b） = gcd(b, a%b) 當b==0 時，a即爲gcd（a， b）；
所以，當b == 0；時，存在遞歸終點，此時，xn=1， yn=0；
然後遞歸回去就可以求出最終的x1和y1了
代碼：
ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
if(b == 0)
{
x = 1;
y = 0;
return a;
}
int gcd = exgcd(b, a%b, x, y);
int t = x;
x = y;
y = t-a/b*y;
return gcd;
}
解出的（x1， y1）爲ax + by = gcd（a， b）的一組解。
題設：
已知a，b，c，設方程組： ax + by = c， 求一個最小正整數解x，使得該方程成立。
推導過程：
由上述擴展歐幾里得定理可知：c = n*gcd(a, b) （n爲整數）
即原式變爲：ax + by = gcd(a, b) *n （n爲整數）。[即n = c/gcd(a, b)]
由上個題設exgcd可求得一組解（x1， y1）
即求得一組（x1， y1）使得 ：
ax1 + by1 = gcd(a, b) ------------------------------------------------ (1)
令gcd = gcd（a, b）；
因爲gcd = gcd(a, b) 所以， a*x1/gcd是整數，b*y1/gcd是整數, 所以c/gcd也需要是整數，否則無解。
讓上述(1)式兩邊都乘（c/gcd）
得到：a*(x1*(c/gcd)) + b*(y1*(c/gcd)) = gcd * (c/gcd)
化簡得：a*(x1*(c/gcd)) + b*(y1*(c/gcd)) = c -------------------------- (2)
即原式中的解（x， y）可有exgcd後的一組解（x1, y1）表示爲：
x = x1*(c/gcd)
y = y1*(c/gcd)
此時的x1*(c/gcd)是最小的解，但有可能是負數。
因爲 a*(x1*(c/gcd) + b*n) + b*(y1*(c/gcd) - a*n) = c （n是自然數）
所，x的最小正整數解爲：
x = (x1*(c/gcd)%b+b)%b
反過來可得最小的y的正整數解爲：
y = (y1*(c/gcd)%a+a)%a
這裏給出一個爲什麼x = (x1*(c/gcd)%b+b)%b是最小正整數的推導：
代碼：
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==0)
{
x=1;y=0;
return a;
}
int r=exGcd(b,a%b,x,y);
int t=x;
x=y;
y=t-a/b*y;
return r;
}
int main()
{
int a, b, c;
while(cin >> a >> b >> c && a+b+c)
{
int x, y;
int z = exgcd(a, b, x, y);
cout << x << ' ' << y << ' ' << z << '\n';
x*=c/z; //一組解x，y
y*=c/z;
cout << x << ' ' << y << '\n';
int t = b/z; //求ax+by = c 的最小正整數x，b/z是（2）式約掉c之後的。。
x = (x%t+t)%t;
y = abs((a*x - c)/b);
t = a/x; //求ax+by = c 的最小正整數y
y = (y%t+t)%t;
x = abs((b*y - c)/a);
cout << x << ' ' << y << '\n';
}
return 0;