線性代數學習筆記（七）——克萊姆法則

本篇筆記介紹了用於解方程組的克萊姆法則，該法則只適用於方程個數等於未知量個數的方程組；同時還介紹了齊次線性方程組，並討論了方程組有零解或有非零解的條件。需要注意的是：克萊姆法則由於計算量比較大，一般不會直接用於求方程組的解，而是用於討論方程組有零解或非零解。

1 Cramer 法則

克萊姆法則用於解方程組，只適用於方程個數等於未知量個數。

方程組：

$\begin{cases} x_1+x_2+x_3=1\\ x_1-x_2+5x_3=6\\ -x_1+x_2+6x_3=9\\ \end{cases}$

係數行列式：方程組的係數組成的行列式。

$D=\begin{vmatrix} 1&1&1\\ 1&-1&5\\ -1&1&6\\ \end{vmatrix}$

定理 1.5.1 克萊姆法則：含有$n$個方程$n$個未知量的方程組，係數行列式不等於零，則$x_j=\frac{D_j}D$。式中$x_j$爲對應未知數的值，$D$爲係數行列式，$D_j$爲方程組右邊常數項替換$D$的第$j$列後的行列式。

上述方程組的$D_1$、$D_2$和$D_3$分別爲：

$D_1=\begin{vmatrix} \color{red}1&1&1\\ \color{red}6&-1&5\\ \color{red}9&1&6\\ \end{vmatrix}$

$D_2=\begin{vmatrix} 1&\color{red}1&1\\ 1&\color{red}6&5\\ -1&\color{red}9&6\\ \end{vmatrix}$

$D_3=\begin{vmatrix} 1&1&\color{red}1\\ 1&-1&\color{red}6\\ -1&1&\color{red}9\\ \end{vmatrix}$

克萊姆法則成立的兩個條件：
① 方程個數=未知量個數；
② 係數行列式D≠0。

例1：
略。

2 齊次線性方程組

齊次線性方程組右邊常數項全爲0，齊次線性方程組至少有0解。
$\begin{cases} x_1+x_2+x_3=0\\ x_1-x_2+5x_3=0\\ -x_1+x_2+6x_3=0\\ \end{cases}$

零解：全都等於0的解；
非零解：除了0解以外的解。

定理 1.5.2：如果齊次線性方程組的方程個數等於未知量個數，並且係數行列式$D≠0$，則方程組只有0解。

逆否命題：若齊次線性方程組有非0解，則它的係數行列式必等於零（$D=0$）。

還可以證明，如果齊次線性方程組係數行列式等於零（$D=0$），那麼齊次線性方程組一定有非0解。

充要條件：也就是說：（方程個數等於未知量個數的）齊次線性方程組有非0解$\iff$$D=0$。

例2：以下齊次線性方程組中，問$a, b, c$滿足何種關係時只有零解，或有非零解？
$\begin{cases} x_1+x_2+x_3=0\\ ax_1+bx_2+cx_3=0\\ a^2x_1+b^2x_2+c^2x_3=0\\ \end{cases}$

解：上述齊次線性方程組的係數行列式爲：
$D=\begin{vmatrix} 1&1&1\\ a&b&c\\ a^2&b^2&c^2\\ \end{vmatrix}$

該行列式爲範德蒙德行列式：
$D=(b-a)(c-a)(c-b)$

① 由定理定理 $1.5.2$ 可知，$D≠0$，齊次線性方程組只有零解，即：
$(b-a)(c-a)(c-b)≠0$

所以，當 $b≠c$ 並且 $c≠a$ 並且 $c≠b$ 時，齊次線性方程組只有零解。

② 當$D=0$時，齊次線性方程組有非零解，即：
$(b-a)(c-a)(c-b)=0$

所以，當 $b=c$ 或者 $c=a$ 或者 $c=b$ 時，齊次線性方程組有非零解。

例3：
略。

3 引用

《線性代數》高清教學視頻 “驚歎號”系列 宋浩老師_嗶哩嗶哩 (゜-゜)つロ 乾杯~-bilibili_1.5 克萊姆法則