線性代數學習筆記（八）——矩陣概念

本筆記通過航班信息和人際關係的圖表引入矩陣的定義，探討了矩陣和行列式的關係，並給出了矩陣相關概念的說明，例如實矩陣、復矩陣、行矩陣、列矩陣、零矩陣、負矩陣、方陣、單位陣和同型矩陣等。

1 舉例

航班信息：
假設有以下三個城市的航班信息：

上述圖形相對簡單，實際的情況非常複雜。如果用$1$表示城市之間有航班，$0$表示沒有航班，上述航班信息可以使用如下表格清晰地表示：

	北京	濟南	威海
北京	0	1	1
濟南	1	0	1
威海	0	0	0

人際關係：

關係：
1：表示不認識；
2：表示認識；
3：表示戀人。

可以看出，使用圖形表示非常複雜，很難看清之間的關係。同理，使用表格表示方式如下：

$\begin{matrix} \quad\quad\quad小紅&小英&小明&小剛&小浩浩 \end{matrix}$
$\begin{matrix} 小紅\\小英\\小明\\小剛\\小浩浩 \end{matrix}$$\begin{bmatrix} 2&\quad1&\quad\quad2&\quad2&\quad\quad2\\ 2&\quad2&\quad\quad2&\quad1&\quad\quad3\\ 3&\quad1&\quad\quad2&\quad2&\quad\quad2\\ 2&\quad2&\quad\quad2&\quad2&\quad\quad3\\ 2&\quad2&\quad\quad2&\quad2&\quad\quad3\\ \end{bmatrix}$

自己與自己的關係爲2表示認識，爲3表示自戀，很複雜的關係可以通過數表的形式清晰的表示出來。

2 矩陣的定義（Matrix）

由$m$行$n$列元素組成的數表稱爲$m×n$的矩陣。

$\begin{bmatrix} {a_{11}}&{a_{12}}&{\cdots}&{a_{1n}}\\ {a_{21}}&{a_{22}}&{\cdots}&{a_{2n}}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ {a_{m1}}&{a_{m2}}&{\cdots}&{a_{mn}}\\ \end{bmatrix}$

$m$表示行數，$n$表示列數，$a_{ij}$表示元素。

例如：
$\begin{bmatrix} 1&2&3\\ 1&1&1\\ \end{bmatrix}$

表示：$2×3$的矩陣，記作：$A_{23}$。
一般使用大寫字母$A$、$B$、$C$表示矩陣（$D$留給行列式），$A_{mn}$表示$m×n$的矩陣。

3 矩陣和行列式

	行列式	矩陣
本質	一個數	數表
符號	||	()或[]
形狀	行數=列數	行數可以不等於列數

行列式是方陣的一個屬性。

4 一些概念

實矩陣：所有的元素都是實數的矩陣。
復矩陣：所有的元素都是複數的矩陣。
行矩陣：只有一行元素的矩陣。如：$\begin{bmatrix}1&1&1\end{bmatrix}$，記作：$A_{13}$。
列矩陣：只有一列元素的矩陣。如：$\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}$，記作：$A_{31}$。
零矩陣：元素都是0的矩陣。如：$\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}$或$\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}$，記作：$O$。
負矩陣：將矩陣$A$所有元素都取相反數得到的矩陣。如原來矩陣爲$A$，那麼負矩陣爲$-A$。
方陣：行數和列數相等的矩陣。記作：$A_n$，表示$n$階方陣。
單位陣：主對角線全爲1，其餘元素全爲0的矩陣。記作：$E$或$I$。
如$E_3$表示3階單位陣$\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$，注意不是：$\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{bmatrix}$。

只有一個元素的矩陣和這個數本身不加以區別。如$[5]=5$。

同型矩陣：兩個矩陣的行數和列數對應相等。如：$A_{3×5}$和$B_{3×5}$。矩陣相等表示同型矩陣對應元素相等，即矩陣相等的前提是同型矩陣。記作：$A=B$。

兩個$O$矩陣不一定相等，因爲形狀不一定相等。

方陣的主對角線和次對角線與行列式定義相同，不是方陣沒有主對角線和次對角線。

5 引用

《線性代數》高清教學視頻 “驚歎號”系列 宋浩老師_嗶哩嗶哩 (゜-゜)つロ 乾杯~-bilibili_2.1 矩陣概念