線性代數學習筆記（四）——行列式按行展開

本篇筆記介紹了行列式按行或按列展開定理、異乘變零定理、拉普拉斯定理和行列式相乘定理。

1 行列式按行（列）展開定理

餘子式：去掉行列式指定元素所在行和所在列元素後得到的新行列式（顧名思義，即剩餘子集行列式）。
$D=\begin{vmatrix} 1&1&0&(3)\\ 1&1&1&1\\ 2&②&3&4\\ 5&5&6&6\\ \end{vmatrix}$

$M_{32}=\begin{vmatrix} 1&0&3\\ 1&1&1\\ 5&6&6\\ \end{vmatrix}\qquad$

$M_{14}=\begin{vmatrix} 1&1&1\\ 2&2&3\\ 5&5&6\\ \end{vmatrix}$

餘子式使用符號$M_{ij}$表示。

代數餘子式:在餘子式前面添加$(-1)^{i+j}$符號。
$A_{32}=(-1)^{3+2}\begin{vmatrix} 1&0&3\\ 1&1&1\\ 5&6&6\\ \end{vmatrix}\qquad$

$A_{14}=(-1)^{1+4}M_{14}$

代數餘子式使用符號$A_{ij}$表示。

行列式按某行（列）展開定理：給定一個行列式，它的值等於任意一行（列）中各元素與其對應的代數餘子式乘積之和。即：

按行展開：$D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in}$
按列展開：$D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+...+a_{nj}A_{nj}$

舉例：
$\begin{vmatrix} 1&1&2\\ 0&1&0\\ 2&3&5\\ \end{vmatrix}=1×(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} 1&0\\ 3&5\\ \end{vmatrix}+1×(-1)^{1+2}\begin{vmatrix} 0&0\\ 2&5\\ \end{vmatrix}+2×(-1)^{1+3}\begin{vmatrix} 0&1\\ 2&3\\ \end{vmatrix}$

① 行列式按某行（列）展開具有降階的效果；
② 選0比較多的行（列）進行展開。

$\begin{vmatrix} 1&1&2\\ 0&1&0\\ 2&3&5\\ \end{vmatrix}=0×A_{21}+1×(-1)^{2+2}\begin{vmatrix} 1&2\\ 2&5\\ \end{vmatrix}+0×A_{23}$

2 異乘變零定理

某行（列）元素與另一行（列）元素代數餘子式的乘積之和等於零。

舉例：
$D=\begin{vmatrix} 1&1&2&3\\ 0&0&8&9\\ 2&2&5&4\\ ⑨&⑨&⑨&⑩\\ \end{vmatrix}$

用第4行元素與第1行元素的代數餘子式相乘：
$9×A_{11}+9×A_{12}+9×A_{13}+10×A_{14}\qquad①$

構造如下行列式（第2、3、4行與行列式$D$相同）：
$D_1=\begin{vmatrix} ⑨&⑨&⑨&⑩\\ 0&0&8&9\\ 2&2&5&4\\ ⑨&⑨&⑨&⑩\\ \end{vmatrix}$

將$D_1$按第1行展開：
$9×A_{11}+9×A_{12}+9×A_{13}+10×A_{14}\qquad②$

不難發現，表達式①和表達式②完全相同，而行列式$D_1$第1行和第4行對應相等，根據行列式性質3可知其值爲0，故異乘變零也。

3 拉普拉斯定理*

$k$階子式：取定$k$行$k$列，位於交叉位置元素所以構成的行列式。

舉例：
$D=\begin{vmatrix} ①&②&3&4\\ ①&①&2&5\\ 1&1&0&8\\ 9&9&9&10\\ \end{vmatrix}$

取定第1行第2行，第1列第2列，得到如下2階子式：

$\begin{vmatrix} ①&②\\ ①&①\\ \end{vmatrix}$

餘子式：除去$k$階子式所在行和所在列後得到的行列式。

上述行列式$D$的餘子式爲：
$\begin{vmatrix} 0&8\\ 9&10\\ \end{vmatrix}$

代數餘子式：在餘子式前面添加$(-1)^{(i_1+i_2+...+i_k)+(j_1+j_2+...+j_k)}$符號。

上述行列式$D$的代數餘子式爲：
$(-1)^{(1+2)+(1+2)}\begin{vmatrix} 0&8\\ 9&10\\ \end{vmatrix}$

拉普拉斯展開定理：在$n$階行列式中，任意取定$k$行，由$k$行元素組成的所有$k$階子式與代數餘式乘積之和等於行列的值。

舉例：
$D=\begin{vmatrix} 1&2&(0)&(0)&(0)\\ 3&4&(0)&(0)&(0)\\ 1&2&3&4&5\\ 1&1&1&1&1\\ 6&6&8&3&1\\ \end{vmatrix}$

假定取定前2行，不難發現，第3、第4和第5列都是0，與前2行任意一個組合得到的2階子式均爲0，即：$\begin{vmatrix}1&0\\3&0\\\end{vmatrix}$或$\begin{vmatrix}2&0\\4&0\\\end{vmatrix}$，所以只有前2列組成的2階子式$\begin{vmatrix}1&2\\3&4\\\end{vmatrix}$不爲0。

故：$D=\begin{vmatrix} 1&2\\ 3&4\\ \end{vmatrix}×(-1)^{(1+2)+(1+2)}\begin{vmatrix} 3&4&5\\ 1&1&1\\ 8&3&1\\ \end{vmatrix}$

4 行列式相乘定理

假設$D1$和$D2$是兩個$n$階（同階）行列式，則它們的乘積可以表示成一個$n$階行列式。

運算規則：
① 先用$D1$的第1行元素分別乘以$D2$的第1列元素然後相加，結果作爲新行列式的第1行的第1個元素；
② 然後用$D1$的第1行元素分別乘以$D2$的第2列元素然後相加，結果作爲新行列式的第1行的第2個元素；
③ 再用$D1$的第1行元素分別乘以$D2$的第n列元素然後相加，結果作爲新行列式的第1行的第n個元素；
④ 換$D1$的第2行元素分別乘以$D2$的第1列元素然後相加，結果作爲新行列式的第2行的第1個元素；
⑤ 然後用$D1$的第2行元素分別乘以$D2$的第2列元素然後相加，結果作爲新行列式的第2行的第2個元素；
⑥ 再用$D1$的第2行元素分別乘以$D2$的第n列元素然後相加，結果作爲新行列式的第2行的第n個元素；
⑦ 依次最後用$D1$的第n行元素分別乘以$D2$的第n列元素然後相加，結果作爲新行列式的第n行的第n個元素。

舉例1：
$\begin{vmatrix} 1&1&1\\ 2&0&0\\ 0&0&3\\ \end{vmatrix}×\begin{vmatrix} 1&2&3\\ 1&3&2\\ 3&2&1\\ \end{vmatrix}$

$=\begin{vmatrix} 1×1+1×1+1×3&1×2+1×3+1×2&1×3+1×2+1×1\\ 2×1+0×1+0×3&2×2+0×3+0×2&2×3+0×2+0×1\\ 0×1+0×1+3×3&0×2+0×3+3×2&0×3+0×2+3×1\\ \end{vmatrix}$

$=\begin{vmatrix} 5&7&6\\ 2&4&6\\ 9&6&3\\ \end{vmatrix}$

舉例2：
$\begin{vmatrix} 1&2&1\\ 2&1&1\\ 1&1&2\\ \end{vmatrix}×\begin{vmatrix} 1&0&2\\ 0&1&0\\ 2&0&1\\ \end{vmatrix}$

$=\begin{vmatrix} 1×1+2×0+1×2&1×0+2×1+1×0&1×2+2×0+1×1\\ 2×1+1×0+1×2&2×0+1×1+1×0&2×2+1×0+1×1\\ 1×1+1×0+2×2&1×0+1×1+2×0&1×2+1×0+2×1\\ \end{vmatrix}$

$=\begin{vmatrix} 3&2&3\\ 4&1&5\\ 5&1&4\\ \end{vmatrix}$

兩個不同級的行列式不能使用行列式相乘定理，如下所示：
$\begin{vmatrix} 1&2&1\\ 2&1&1\\ 1&1&2\\ \end{vmatrix}×\begin{vmatrix} 1&1&1&1\\ 2&2&2&1\\ 0&3&1&1\\ 4&1&1&1\\ \end{vmatrix}$

行列式的本質就是一個數，所以不同階的行列式相乘時，可以先分別求出值，再相乘。

5 引用

《線性代數》高清教學視頻 “驚歎號”系列 宋浩老師_嗶哩嗶哩 (゜-゜)つロ 乾杯~-bilibili_1.3 行列式按行展開