線性代數學習筆記（六）——行列式的計算（二）

本篇筆記介紹了三叉型行列式、範德蒙德行列式、反對稱行列式和對稱行列式。其中三叉型行列式採用加邊法求值，範德蒙德行列式通過公式求值，還介紹了範德蒙德行列式公式的證明，以及一些比較隱祕的範德蒙德行列式。對於反對稱行列式和對稱行列式介紹了一些性質，其中奇數階的反對稱行列式值爲零。

1 三叉型行列式

例6：
$\begin{vmatrix} a+a_1&1&{\cdots}&1\\ 1&1+a_2&{\cdots}&1\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 1&1&{\cdots}&1+a_n\\ \end{vmatrix}_n$

解：使用加邊法構造以下新行列式：
$=\begin{vmatrix} ①&①&①&{\cdots}&①\\ (0)&1+a_1&1&{\cdots}&1\\ (0)&1&1+a_2&{\cdots}&1\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ (0)&1&1&{\cdots}&1+a_n\\ \end{vmatrix}_{n+1}$

加一行：所有元素爲1；
加一列：從第2列元素開始全爲0。
這樣加的目的是：不改變原行列式的值（按第1列展開可發現：第1行第1列的1乘以其代數餘子式就是原來的行列式）。

然後第1行×(-1)依次加到第$2、3...n$行上去：
$=\begin{vmatrix} 1&1&1&{\cdots}&1\\ -1&a_1&0&{\cdots}&0\\ -1&0&a_2&{\cdots}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ -1&0&0&{\cdots}&a_n\\ \end{vmatrix}_{n+1}$

不難發現，行列式變成了三叉型|↸。
依次將第2列×$\frac1{a_1}$加到第1列，第3列×$\frac1{a_2}$加到第1列，第n+1列×$\frac1{a_n}$加到第1列（字母放在分母上時要判斷是否爲0）：
$=\begin{vmatrix} 1+\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+...+\frac1{a_n}&1&1&{\cdots}&1\\ 0&a_1&0&{\cdots}&0\\ 0&0&a_2&{\cdots}&0\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0&0&0&{\cdots}&a_n\\ \end{vmatrix}_{n+1}$

很明顯，上述行列式爲上三角型行列式，故：
$=(1+\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+...+\frac1{a_n})a_1a_2...a_n$

準則：加邊不能改變行列式的值。

2 範德蒙德行列式

2.1 計算公式

例7：
$\begin{vmatrix} 1&1&1&{\cdots}&1\\ x_1&x_2&x_3&{\cdots}&x_n\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ x_1^{n-2}&x_2^{n-2}&x_3^{n-2}&{\cdots}&x_n^{n-2}\\ x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&x_3^{n-1}&{\cdots}&x_n^{n-1}\\ \end{vmatrix}=\prod_{1≤j<i≤n}(x_i-x_j)$

$1$相當於$x_1^0$，$x_1$相當於$x_1^1$；
$j$在前，$i$在後，並且$j≠i$；
右側的連乘積共有$C_n^2=\frac{n(n-1)}2$項。

舉例1：
$D=\begin{vmatrix} 1&1&1&1&1\\ x_1&x_2&x_3&x_4&x_5\\ x_1^2&x_2^2&x_3^2&x_4^2&x_5^2\\ x_1^3&x_2^3&x_3^3&x_4^3&x_5^3\\ x_1^4&x_2^4&x_3^4&x_4^4&x_5^4\\ \end{vmatrix}$

解：當$j=1$時，$i=2, 3, 4, 5$；
$(x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_4-x_1)(x_5-x_1)$

當$j=2$時，$i=3, 4, 5$；
$(x_3-x_2)(x_4-x_2)(x_5-x_2)$

當$j=3$時，$i=4, 5$；
$(x_4-x_3)(x_5-x_3)$

當$j=4$時，$i=5$：
$(x_5-x_4)$

故行列式$D$的值爲：
$D=(x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_4-x_1)(x_5-x_1)(x_3-x_2)(x_4-x_2)(x_5-x_2)(x_4-x_3)(x_5-x_3)(x_5-x_4)$

舉例2：
求以下範德蒙德行列式的值：
$\begin{vmatrix} 1&1&1&1&1&1\\ 2&-1&3&6&9&-5\\ ...&...&...&...&...&...\\ ...&...&...&...&...&...\\ ...&...&...&...&...&...\\ ...&...&...&...&...&...\\ \end{vmatrix}$

解：根據例1同理可知：
當$j=1$時，$i=2, 3, 4, 5, 6$；
當$j=2$時，$i=3, 4, 5, 6$；
當$j=3$時，$i=4, 5, 6$；
當$j=4$時，$i=5, 6$；
當$j=5$時，$i=6$；
故上述行列式的值爲：
$=(-1-2)(3-2)(6-2)(9-2)(-5-2)$
$(3+1)(6+1)(9+1)(-5+1)$
$(6-3)(9-3)(-5-3)$
$(9-6)(-5-6)$
$(-5-9)$

舉例3：
求以下範德蒙德行列式的值：
$\begin{vmatrix} 1&1&1&1\\ a&b&c&d\\ ...&...&...&...\\ ...&...&...&...\\ \end{vmatrix}$

解：同理可得：
$=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)$

2.2 範德蒙德行列式證明

使用歸納假設法證明範德蒙德行列式公式，對於二階範德蒙德行列式：
$\begin{vmatrix} 1&1\\ x_1&x_2\\ \end{vmatrix}=x_2-x_1$

假設$n-1$階範德蒙德行列式成立，即：
$\begin{vmatrix} 1&1&1&{\cdots}&1\\ x_1&x_2&x_3&{\cdots}&x_{n-1}\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ x_1^{n-3}&x_2^{n-3}&x_3^{n-3}&{\cdots}&x_{n-1}^{n-3}\\ x_1^{n-2}&x_2^{n-2}&x_3^{n-2}&{\cdots}&x_{n-1}^{n-2}\\ \end{vmatrix}_{n-1}=\prod_{1≤j<i≤n-1}(x_i-x_j)$

則$n$階範德蒙德行列式：
$\begin{vmatrix} 1&1&1&{\cdots}&1\\ x_1&x_2&x_3&{\cdots}&x_n\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ x_1^{n-2}&x_2^{n-2}&x_3^{n-2}&{\cdots}&x_n^{n-2}\\ x_1^{n-1}&x_2^{n-1}&x_3^{n-1}&{\cdots}&x_n^{n-1}\\ \end{vmatrix}_n$

將第$n-1$行$×(-x_1)$加到第$n$行：
$=\begin{vmatrix} 1&1&1&{\cdots}&1\\ x_1&x_2&x_3&{\cdots}&x_n\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ x_1^{n-2}&x_2^{n-2}&x_3^{n-2}&{\cdots}&x_n^{n-2}\\ 0&x_2^{n-1}-x_2^{n-2}x_1&x_3^{n-1}-x_3^{n-2}x_1&{\cdots}&x_n^{n-1}-x_n^{n-2}x_1\\ \end{vmatrix}_n$

同理，依次將將第$n-2$行$×(-x_1)$加到第$n-1$行，第$n-3$行$×(-x_1)$加到第$n-2$行，…，第$1$行$×(-x_1)$加到第$2$行：
$=\begin{vmatrix} 1&1&1&{\cdots}&1\\ 0&x_2-x_1&x_3-x_1&{\cdots}&x_n-x_1\\ {\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ 0&x_2^{n-2}-x_2^{n-3}x_1&x_3^{n-2}-x_3^{n-3}x_1&{\cdots}&x_n^{n-2}-x_n^{n-3}x_1\\ 0&x_2^{n-1}-x_2^{n-2}x_1&x_3^{n-1}-x_3^{n-2}x_1&{\cdots}&x_n^{n-1}-x_n^{n-2}x_1\\ \end{vmatrix}_n$

上述行列式按第1列展開可知，其值等於如$n-1$下階行列式：
$=\begin{vmatrix} x_2-x_1&x_3-x_1&{\cdots}&x_n-x_1\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ x_2^{n-2}-x_2^{n-3}x_1&x_3^{n-2}-x_3^{n-3}x_1&{\cdots}&x_n^{n-2}-x_n^{n-3}x_1\\ x_2^{n-1}-x_2^{n-2}x_1&x_3^{n-1}-x_3^{n-2}x_1&{\cdots}&x_n^{n-1}-x_n^{n-2}x_1\\ \end{vmatrix}_{n-1}$

將第1列提取公因數$x_2-x_1$，第2列提取公因數$x_3-x_1$，…，第$n-1$列提取公因數$x_n-x_1$得：
$=\begin{vmatrix} x_2-x_1&x_3-x_1&{\cdots}&x_n-x_1\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ x_2^{n-3}(x_2-x_1)&x_3^{n-3}(x_3-x_1)&{\cdots}&x_n^{n-3}(x_n-x_1)\\ x_2^{n-2}(x_2-x_1)&x_3^{n-2}(x_3-x_1)&{\cdots}&x_n^{n-2}(x_n-x_1)\\ \end{vmatrix}_{n-1}$
$=(x_2-x_1)(x_3-x_1)...(x_n-x_1)\begin{vmatrix} 1&1&{\cdots}&1\\ x_2&x_3&{\cdots}&x_n\\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\ x_2^{n-2}&x_3^{n-2}&{\cdots}&x_n^{n-2}\\ \end{vmatrix}_{n-1}$

根據假設可知，上述表達式右邊是一個$n-1$階的範德蒙德行列式，故：
$=(x_2-x_1)(x_3-x_1)...(x_n-x_1)\prod_{2≤j<i≤n}(x_i-x_j)$

觀察發現，上述表達式左半部分爲$j=1$的情況，右半部分是$j\in[2, n]$的情況，所以：
$=\prod_{1≤j<i≤n}(x_i-x_j)$
原式得證。

2.3 比較隱祕的範德蒙德行列式

舉例1：
$\begin{vmatrix} 1&1&1&1\\ 1&-1&2&3\\ 1&1&4&9\\ 1&-1&8&27\\ \end{vmatrix}$

$=\begin{vmatrix} 1&1&1&1\\ 1&-1&2&3\\ 1^2&(-1)^2&2^2&3^2\\ 1^3&(-1)^3&2^3&3^3\\ \end{vmatrix}$

舉例2：
$\begin{vmatrix} 1&2&4&8\\ 1&3&9&27\\ 1&4&16&64\\ 1&5&25&125\\ \end{vmatrix}$

根據行列式轉置值不變的性質：
$=\begin{vmatrix} 1&1&1&1\\ 2&3&4&5\\ 4&9&16&25\\ 8&27&64&125\\ \end{vmatrix}$

$=\begin{vmatrix} 1&1&1&1\\ 2&3&4&5\\ 2^2&3^2&4^2&5^2\\ 2^3&3^3&4^3&5^3\\ \end{vmatrix}$

3 反對稱行列式

例8：
$\begin{vmatrix} 0&1&2&3\\ -1&0&-5&6\\ -2&5&0&-8\\ -3&-6&8&0\\ \end{vmatrix}$

① 主對角線全爲0；
② 上下位置對應成相反數。
反對稱行列式的定義爲：$a_{ij}=-a_{ji}$，對於對角線上的元素：$a_{ii}=-a_{ii}$，推出：$2a_{ii}=0$，即：$a_{ii}=0$。

對於奇數階反對稱行列的值等於零。

舉例：
$D=\begin{vmatrix} 0&a&b\\ -a&0&c\\ -c&-c&0\\ \end{vmatrix}$

分別從第1行、第2行和第3行提取公因子-1：
$D=(-1)^3\begin{vmatrix} 0&-a&-b\\ a&0&-c\\ c&c&0\\ \end{vmatrix}$

不難看出，右邊的行列式相當於行列式$D$作了轉置，即：
$D=-D^T$

又因爲行列式轉置值不變，所以：
$D=-D$
$2D=0$
$D=0$

4 對稱行列式

$\begin{vmatrix} 0&1&-1\\ 1&2&0\\ -1&0&3\\ \end{vmatrix}$

以主對角線爲軸，上下位置對應相等。
① 主對角線元素沒有要求；
② 上下位置對應相等。
對稱行列式的定義爲：$a_{ij}=a_{ji}$，對於對角線上的元素：$a_{ii}=a_{ii}$。

5 引用

《線性代數》高清教學視頻 “驚歎號”系列 宋浩老師_嗶哩嗶哩 (゜-゜)つロ 乾杯~-bilibili_1.4 行列式的計算（二）