AI筆記: 數學基礎之排列與組合

計數原理

1 ) 分類相加

做一件事情，完成它有n類辦法，在第一類辦法中有$m_1$種不同方法，第二類有$m_2$種不同方法 … 在第n類辦法中有$m_n$種不同的方法，完成這件事共有 $N = m_1 + m_2 + m_3 + ... + m_n$ 種不同方法

2 ) 分步相乘

做一件事情，完成它有n個步驟，做第一個步驟有$m_1$種不同方法，第二個步驟有$m_2$種不同方法…做第n個步驟有$m_n$種不同的方法. 那麼完成這件事共有 $N = m_1 * m_2 * ... * m_n$ 種不同的方法

排列

1 ）概念

• 排列：從n個不同元素中，任取m(m<=n)個元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列
• 排列數：從n個不同元素中，取出m(m<=n)個元素的所有排列的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數 $A_n^m$
• 排列是有序的

2 ） 公式

• $A_n^m = n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$
• $A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$
• $A_n^m = n!$
• 規定 0! = 1

組合

1 ）概念

• 組合：從n個不同元素中，任取m(m<=n)個元素併成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合
• 組合數：從n個不同元素中，取出m(m<=n)個元素的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數 $C_n^m$
• 組合不考慮順序

2 ）公式

• $C_n^m = \frac{n(n-1)(n-2)...(n-m+1)}{m!}$ 或 $C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$
• $C_n^m = C_n^{n-m}$
• 規定 $C_n^0 = 1$

排列與組合的關係

• $A_n^m = C_n^m * A_m^m$
• 排列就是先組合再全排列
• $C_n^m = \frac{A_n^m}{A_m^m} = \frac{n(n-1)...(n-m+1)}{m(m-1)...2*1} = \frac{n!}{m!(n-m)!}$ (m <= n)
• 排列 $A_{n+1}^m = A_n^m + mA_n^{m-1}$
• 組合 $C_{n+1}^m = C_n^m + C_n^{m-1}$

使用python來測試排列和組合

import itertools

x = list(range(7))
print(x) # [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6]

a = itertools.permutations(x, 3)# 測試排列
b = itertools.combinations(x, 3) # 測試組合

print(len(list(a))) # 210
print(len(list(b))) # 35